Binomni poučak

Binomni koeficijenti se mogu izračunati kao dijelovi Pascalova trokuta, gdje je svaki broj zbroj ona dva iznad njega.

U elementarnoj algebri, binomni poučak opisuje algebarsko proširivanje potencije binoma. Prema tom poučku moguće je (x + y)ⁿ proširiti u sumu koja uključuje izraze oblika ax^by^c, gdje su b i c pozitivni cijeli brojevi, i koeficijent a je specifični pozitivni broj ovisan o n i b. Kada je eksponent jednak nuli, taj se element izostavi iz niza. Na primjer :

$(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.$

Koeficijent a u izrazu x^by^c je također poznat kao binomni koeficijent $\tbinom nb$ ili $\tbinom nc$ (ova dva imaju istu vrijednost). Ovi koeficijenti za različite n i b se mogu složiti u Pascalov trokut. Ovi se brojevi također pojavljuju u kombinatorici, gdje $\tbinom nb$ daje broj različitih kombinacija b elemenata izabranih iz skupa od n elemenata.

Povijest

Formula i prikaz binomnih koeficijenata u obliku trokuta se često pripisuju Blaiseu Pascalu, koji ih je opisao u 17. stoljeću, iako je bio poznat mnogim matematičarima prije njega. U 4. stoljeću pr. Kr grčki matematičar Euklid je znao posebni slučaj binomnog poučka za n=2, kao i u 3. stoljeću pr. Kr indijski matematičar Pingala za više eksponente. Općeniti binomni poučak i takozvani "Pascalov trokut" su bili poznati u 10. stoljeću poslije Krista indijskom matematičaru Halayudhi i perzijskom matematičaru Al-Karaji, te u 11. stoljeću perzijskom pjesniku i matematičaru Omaru Khayyamu,i u 13. stoljeću kineskom matematičaru Yangu Huiu, koji su svi imali slične rezultate. Al-Karaji je također dokazao binomni poučak i "Pascalov trokut", koristeći matematičku indukciju.

Iskaz poučka

Prema poučku, moguće je proširiti bilo koju potenciju od x + y u zbroj oblika :

$(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,$, gdje je $\tbinom nk$ specifičnipozitivan broj poznat kao binomni koeficijent. Ovo je također poznato kao binomna formula ili binomni identitet. Također se može zapisati kao :

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.$

Jedna od varijanti binomne formule se dobija zamjenom 1 za y, tako da ima samo jednu varijablu. U ovom obliku, formula izgleda ovako :

$(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 + \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,$

ili ekvivalento :

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.$

Primjeri

Pascalov trokut

Najjednostavniji primjer je kvadrat od x+y :

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!$

Binomni koeficijenti 1, 2, 1 se pojavljuju u trećem redu Pascalova trokuta. Koeficijenti za veće eksponente se nalaze u nižim redovima Pascalova trokuta.

$\begin{align} (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align}$

Primjetite da :

1. eksponenti od x se smanjuju dok ne dođu do nule ($x^0=1$), a početna im je vrijednost n
2. eksponenti od y rastu dok ne dođu do n, a početna im je vrijednost 0 ($x^0=1$)
3. N-ti red Pascalova trokuta će biti koeficijenti proširenog binoma. (Red na vrhu je red 0)
4. Za svaki red Pascalova trokuta, zbroj koeficijenata je jednak $2^n$.

Za binome koji imaju oduzimanje, poučak se također može primjeniti, sve dok mijenjamo predznak svako drugom koeficijentu u izrazu :

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!$

Geometrijski dokaz

Za pozitivne vrijednosti a i b, binomni poučak za n = 2, geometrijski je očito da se kvadrat sa stranicom (a+b) može izrezati u kvadrat sa stranicom $a^2$, kvadrat sa stranicom $b^2$, i dva pravokutnika da stranicama a i b. Za n=3, poučak kaže da se kocka sa stranicom (a + b) može izrezati u kocku sa stranicom $a^3$, kocku sa stranicom $b^2$, tri kvadra oblika a×a×b te tri kvadra oblika a×b×b.

Binomni koeficijenti

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom poučku se zovu binomni koeficijenti.

Formule

Koeficijent od x^n−ky^k je zadan formulom

${n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$,

koji je definiran funkcijom faktorijela. Također, formula se može zapisati kao  :

${n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}$

Iako ova formula sadrži razlomak, rezultat je uvijek cijeli broj