Cayley-Hamiltonov teorem

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

$A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}.$

Njen karakteristični polinom je

$p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2.$

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

$A^{2}-5A-2I_{2}=0$

Dokaz

Svaka matrica :$A$ ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

$P(\lambda )=a_{n}*\lambda ^{n}+a_{n-1}*\lambda ^{n-1}+...+a_{1}*\lambda +a_{0}=0$

To jest u matričnom obliku je:

$P(A)=a_{n}*A^{n}+a_{n-1}*A^{n-1}+...+a_{1}*A+a_{0}=0$

gdje je :$A$ kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :$B$, koja je jednaka:

$B=(A-\lambda *E)$

gdje je :$E$ jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :$B$ je jednaka:

$B^{-1}={\frac {1}{det(B)}}*adj(B)$

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu s B s lijeve i desne strane:

$B*B^{-1}={\frac {B}{det(B)}}*adj(B)$

$B^{-1}*B={\frac {1}{det(B)}}*adj(B)*B$

Slijedi:

$E={\frac {B}{det(B)}}*adj(B)$

$E={\frac {1}{det(B)}}*adj(B)*B$

$det(B)*E=B*adj(B)$

$det(B)*E=adj(B)*B$

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

$\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}$

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

$det(B)*E=B*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}$

$det(B)*E=(A-\lambda *E)*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}$

$det(B)*E=A*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}-\lambda *E*\sum _{n=1}^{n-1}\lambda ^{n}*B_{n}$

Razvijmo sumu u red oblika:

$det(B)*E=A*B_{0}+A*\lambda *B_{1}+A*\lambda ^{2}*B_{2}+...+A*\lambda ^{n-1}*B_{n-1}-\lambda *B_{0}-\lambda ^{2}*B_{1}-...-\lambda ^{n}*B_{n-1}$

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

$det(B)*E=A*B_{0}+\lambda *(A*B_{1}-B_{0})+\lambda ^{2}*(A*B_{2}-B_{1})+...+\lambda ^{n-1}(A*B_{n-1}-B_{n-2})-\lambda ^{n}*B_{n-1}$

Usporedimo ovu jednadžbu s karakterističnim polinomom matrice :$A$

$P(A)=a_{n}*A^{n}+a_{n-1}*A^{n-1}+...+a_{1}*A+a_{0}=0$

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

$A*B_{0}=a_{0}*E$

$A*B_{1}-B_{0}=a_{1}*E$

. . . . . . . . .

$A*B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}*E$

$B_{n-1}=a_{n}*E$

Ako dobiveni sistem jednadžbi pomnožimo s A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

$A*B_{0}=a_{0}*E$

$A^{2}*B_{1}-A*B_{0}=a_{1}*A$

. . . . . . . . .

$A^{n}*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}=a_{n-1}*A^{n-1}$

$A^{n}*B_{n-1}=a_{n}*A^{n}$

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

$P(A)=A*B_{0}+A^{2}*B_{1}-A*B_{0}+...+A^{n}*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}-A^{n}*B_{n-1}$

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

$P(A)=0$

Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.