Euklidski prostor

Euklidski vektorski prostor ili skraćeno euklidski prostor prvenstveno možemo smatrati onim matematičkim prostorom kojeg intuitivno svakodnevno zamišljamo. Naziv je dobio po starogrčkom matematičaru Euklidu.

Definicija

Neka je $V$ realni vektorski prostor i neka je $\psi: V\times V \to \mathbb{R}$ preslikavanje sa sljedećim svojstvima (napišimo $v\cdot w$ umjesto $\psi (v,w)$) za svaki $u, v, w, \in V$ i $\alpha \in \mathbb{R}$ :

1. $v\cdot w = w \cdot v;$
2. $(u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w;$
3. $\alpha (v\cdot w)=(\alpha v)\cdot w = v\cdot (\alpha w);$
4. $w\cdot w > 0 \mbox{ ako i samo ako je } v\neq 0.$

Tada se $\psi$ zove skalarni produkt na $V$.

Ako na $V$ postoji skalarni produkt, onda se $V$ zove euklidski vektorski prostor.

Euklidska norma

Euklidska norma ili duljina vektora $w$ je broj

$\| w \| = \sqrt{w\cdot w}.$

Iz elementarne analize slijedi da je skalarni produkt između dva vektora koja su pod kutem $\varphi$:

$v\cdot w = \| v \| \cdot \| w \| \cdot \cos \varphi,$

tj. kut $\varphi$ između vektora $v, w \in V$ definiran je s

$\varphi = \arccos \left( \frac{v\cdot w}{\| v \| \cdot \| w \|} \right) .$

Ako je $v\cdot w = 0$, očito je $\varphi = \frac{\pi}{2}$, pa kažemo da su $v$ i $w$ okomiti ili ortogonalni vektori.

Vezani pojmovi

• skalarni produkt
• vektorsko polje
• vektorski prostor