Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje elemenata iz jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka $(D, K, f)$ koja sadrži skupove $D$, $K$ i neko pravilo $f\colon D \to K$ po kojem se svakom elementu $x \in D$ pridružuje jedinstveni element $y \in K$ tako da je $y=f(x)$.

Skup $D$ se naziva područje definicije ili domena funkcije $f$, a skup $K$ područje vrijednosti ili kodomena funkcije $f$. Element domene $x$ je nezavisna varijabla ili argument funkcije $f$, a element kodomene $y$ je zavisna varijabla funkcije $f$.

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo $f\colon D \to K$. Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo $x \mapsto y=f(x)$.

Jednakost funkcija

Funkcije $f$ i $g$ su jednake, što zapisujemo sa $f=g$, ako vrijedi:

1. imaju jednake domene, tj. $D_f = D_g$;
2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. $f(x) = g(x), \forall x \in A$.

Znači, iako funkcije $f(x) = \frac{x^2}{x}$ i $g(x) = x$ imaju jednako pravilo pridruživanja (kada se kod $f(x)$ skrati razlomak dobijemo $f(x) = x$) one nisu jednake jer nemaju istu domenu ($D_f = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$, dok je $D_g = \mathbb{R}$).

Klasifikacija funkcija

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita elementa domene koja se preslikavaju u isti element kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x',\forall x \in D_f ,\forall x' \in D_f$
ili ekvivalentnu tvrdnju $\forall x,x'\in D \mbox{ takve da } x \ne x', f(x) \ne f(x')$.

Slika funkcije f je skup elemenata iz kodomene na koje se preslikava neki element domene.

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni $R_f = K$.
Drugim riječima, za svaki element kodomene ima neki iz domene koji se u njega preslikava, pa su svi elementi kodomene "iskorišteni".
Matematički zapis: $\forall y \in K \; \exists x \in D, f(x)=y$. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je identiteta, odnosno funkcija $i_X :X \to X$ definirana s $i_X(x) = x,\forall x \in X$.

Graf funkcije

Graf funkcije $f(x) = x^2$

Graf funkcije $f$ jest skup točaka $(x,y)$ ravnine $\mathbb{R}^2$ za koje vrijedi $y=f(x)$ te čine krivulju. Formalnije, to je skup $G(f) \subseteq \mathbb{R}^2, G(f) = \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in D_f , y=f(x)\big\}$.

Vidi još

• Kubna funkcija