Funkcija (matematika)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Funkcija ili preslikavanje je jedan od najvažnijih matematičkih pojmova koji predstavlja preslikavanje članova jednog skupa (domena) u drugi (kodomena). Pri tome preslikavanje mora biti jedinstveno, tj. svaki član domene se preslikava u točno jedan član kodomene.

Definicija[uredi VE | uredi]

Funkcija ili preslikavanje je uređena trojka (D, K, f) koja sadrži skupove D, K i neko pravilo f\colon D \to K po kojem se svakom članu x \in D pridružuje jedinstveni član y \in K tako da je y=f(x).

Skup D se naziva područje definicije ili domena funkcije f, a skup K područje vrijednosti ili kodomena funkcije f. Član domene x je nezavisna varijabla ili argument funkcije f, a član kodomene y je zavisna varijabla funkcije f.

Želimo li istaknuti skupove na kojima funkcija izvršava pridruživanje, pišemo f\colon D \to K. Želimo li istaknuti pravilo po kojem funkcija djeluje, pišemo x \mapsto y=f(x).

Jednakost funkcija[uredi VE | uredi]

Funkcije f i g su jednake, što zapisujemo sa f=g, ako vrijedi:

  1. imaju jednake domene, tj. D_f = D_g;
  2. imaju jednako pravilo preslikavanja tj. f(x) = g(x), \forall x \in A.

Na primjer, funkcije f(x) = \frac{x^2}{x} i g(x) = x nisu jednake. One imaju jednako pravilo pridruživanja, budući da, kada se kod f(x) skrati razlomak, dobijemo f(x) = x.
Međutim, nemaju jednaku domenu, jer funkcija f(x) nema vrijednost za x = 0. Dijeljenje s nulom nije definirano, pa je domena D_f = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}, skup realnih brojeva bez nule. Domena D_g  = \mathbb{R}, čitav skup realnih brojeva.

Klasifikacija funkcija[uredi VE | uredi]

Funkcija može imati mnogo svojstava, ali neka od važnijih su injektivnost, surjektivnost i bijektivnost.

Injekcija ili 1-1 preslikavanje je funkcija takva da ne postoje dva različita člana domene koja se preslikavaju u isti član kodomene. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo injektivnosti i da je injektivna.
Matematički zapisujemo, f(x) = f(x') \Rightarrow x = x',\forall x \in D_f ,\forall x' \in D_f
ili ekvivalentnu tvrdnju \forall x,x'\in D \mbox{ takve da } x \ne x', f(x) \ne f(x').

Slika funkcije f je skup članova iz kodomene na koje se preslikava neki član domene. Sliku funkcije f označavamo s  R_f.

Surjekcija ili preslikavanje na je funkcija čija slika je jednaka cijeloj kodomeni R_f = K.
Drugim riječima, za svaki član kodomene postoje jedan ili više članova iz domene koji se u njega preslikavaju.
Matematički zapis: \forall y \in K \; \exists x \in D,  f(x)=y. Za takvu funkciju kažemo da ima svojstvo surjektivnosti i da je surjektivna.

Bijekcija ili 1 na 1 korespondencija ili obostrano jednoznačno preslikavanje je funkcija koja je injektivna i surjektivna. Kažemo još da je funkcija bijektivna i da ima svojstvo bijektivnosti.

Primjer bijekcije je funkcija identiteta, odnosno funkcija i_X :X
 \to X definirana s i_X(x)  = x,\forall x \in X.

Graf funkcije[uredi VE | uredi]

Graf funkcije f(x) = x^2

Graf funkcije f jest skup točaka (x,y) ravnine \mathbb{R}^2 za koje vrijedi y=f(x) te čine krivulju. Formalnije, to je skup G(f) \subseteq \mathbb{R}^2, G(f) = \big\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \in D_f , y=f(x)\big\}.

Vidi još[uredi VE | uredi]