Gram-Schmidtov postupak

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Gram-Schmidtov postupak je metoda u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći. Uzmimo na primjer vektorski prostor proizvoljne dimenzije Rn baze {v1, v2, ... ,vn}, Gram-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {vi} u ortonormiranu bazu, {ui}. Prvo normaliziramo v1: u1=v1/||v1||.

Nakon toga izračunavamo w2=v2-<v2,u1>u1, pa normaliziramo w2: u2=w2/||w2||

Ovaj postupak primjenimo za sve vektore iz baze {vi}: wi+1=vi+1-<vi+1,uiui>- ... - <vi+1,u1>u1 i ui+1=wi+1/||wi+1||. Vektori {u1, ... ,vn} su linearno nezavisni, i stoga čine bazu vektorskog prostora Rn.

Primjer[uredi VE | uredi]

Uzmimo sljedeći skup vektora u Rn (sa uobičajenim skalarnim produktom)

S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.

Sad primjenimo Gram-Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:

\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
 \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}.

Provjerimo vektore u1 i u2 kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:

\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

Sada ih možemo normalizirati, tako što ćemo ih podijeliti s njihovim dužinama:

Prvi koraci Gram-Schmidtovog postupka.
\mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
\mathbf{e}_2 = {1 \over \sqrt{40 \over 25}} \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}
 = {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.