Maxwellove jednadžbe

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Elektromagnetizam
VFPt Solenoid correct2.svg
Elektricitet · Magnetizam
Elektrodinamika
Zrakoprazan prostor · Lorentzov zakon · ems · Elektromagnetska indukcija · Faradayev zakon · Lenzov zakon · Struja pomaka · Maxwellove jednadžbe · EM polje · Elektromagnetsko zračenje · Liénard-Wiechertov potencijal · Maxwellov tenzor · Vrtložne struje

Maxwellove jednadžbe opisuju ovisnost električnog i magnetskog polja o nabojima i strujama, a također i njihovo međudjelovanje do kojeg dolazi kada se polja mijenjaju u vremenu. One su temelj klasične elektrodinamike i teorijske elektrotehnike, a razvio ih je James Clerk Maxwell između 1861. i 1864. godine. Koristeći u to doba poznate zakone (Ampèreov zakon, Faradayev zakon indukcije i Gaussov zakon) te postavivši hipotezu o struji pomaka, Maxwell ih je sve skupa ujedinio u skladu sa jednadžbom kontinuiteta.

Prikaz jednadžbi[uredi VE | uredi]

Za razumijevanje slijedećih jednažbi potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maxwellove se jednadžbe mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stokesovom i teoremu Gauss-Ostrogradski. Također postoji i četverodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici.

Univerzalni oblik Maxwellovih jednadžbi opisuje elektromagnetske fenomene u vakuumu, a u diferencijalnoj formi (u SI sustavu) glasi:

\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}

Gdje je:

\rho \ gustoća električnog naboja, količina električnog naboja po jedinici volumena
\mathbf{J} \ gustoća električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena
\epsilon_0 \ dielektrična konstanta vakuuma (permitivnost)
\mu_0 permeabilnost vakuuma, a jednaka je:
\mu_0=\frac{1}{c^2\epsilon_0}
gdje je c \ brzina svjetlosti.

U Maxwellovim jednadžbama implicitno se pretpostavlja da vrijedi jednadžba kontinuiteta:

{ \partial {\rho} \over \partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaku zatvorenu plohu u prostoru vrijedi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu plohu jednak negativnoj promjeni količine naboja u tom prostoru.

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena pored Maxwell-ovih jednadžbi nužna je i jednadžba za Lorentzovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})
Sažeti prikaz Maxwell-ovi jednadžbi u SI jedinicama
diferencijalni oblik povezujući teorem integralni oblik
Gaussov zakon: Izvor električnog polja je električni naboj. Gaussov Električni tok kroz zatvorenu plohu jednak je ukupnom električnom naboju u njezinoj unutrašnjosti.
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \Leftrightarrow \oint_{\partial V} \mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{A} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} \mathrm{d}V
Magnetsko polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli). Gaussov Magnetski tok kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je nuli.
\nabla\cdot\mathbf{B}=0 \Leftrightarrow \oint_{\partial V} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} = 0
Faradayev zakon indukcije: Svaka promjena magnetskog polja stvara električno polje. Stokesov Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivulji jednak je negativnoj promjeni po vremenu magnetskog toka obuhvaćenog tom krivuljom.
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \Leftrightarrow \oint_{\partial A}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_A\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}
Prošireni Ampèreov zakon: Oko vodiča kojim teče struja inducira se magnetsko polje, ali i svako promjenjivo električno polje inducirati će magnetsko polje. Stokesov Integral vektora jakosti magnetskog polja po zatvorenoj krivulji jednak je zbroju struje i vremenske promjene električnog toka obuhvaćenih tom krivuljom.
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \Leftrightarrow \oint_{\partial A}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = \int_A\mu_0\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\int_A\mu_0\epsilon_0\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}

Interpretacija Maxwellovih jednadžbi[uredi VE | uredi]

Prva jednadžba govori da je električni naboj izvor (ili ponor) električnog polja. Ukupni električni tok kroz zatvorenu plohu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar volumena te plohe. Ako unutar te zatvorene plohe nema električnog naboja (ili je količina pozitivnog jednaka količini negativnog električnog naboja), ukupni električni tok kroz tu zatvorenu plohu je nula. No, to ne znači da u tom volumenu uopće nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u tom promatranom volumenu, koliko silnica električnog polja ulazi kroz plohu koja opisuje volumen, toliko silnica negdje i izlazi iz te iste zatvorene plohe.

Druga Maxwell-ova jednadžba slična je prvoj (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje magnetsko polje. Ova jednadžba izriče da ne postoji "magnetski naboj" (magnetski monopol), tj. ne postoji izvor magnetskog polja, iz kojega bi proizlazio magnetski tok različit od nule. U svakoj točki prostora, količina silnica magnetskog polja koja ulazi u tu točku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te točke, silnice magnetskog polja nemaju izvora (ili ponora). Stoga ukupni magnetski tok kroz zatvorenu plohu uvijek iščezava. To vrijedi i za izvore magnetskog polja, stoga je svaki izvor magnetskog polja barem dipol.

Maxwellove jednadžbe u makroskopskom mediju (sredstvu)[uredi VE | uredi]

Maxwellove jednadžbe opisuju ponašanje električnog i magnetskog polja svugdje u prostoru, ako su poznati svi izvori tj. naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj nabijenih čestica u atomima i nuklearnim jezgrama vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske točke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosječna vrijednost polja i izvora u volumenu koji je velik u usporedbi sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosječne vrijednost nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovom slučaju Maxwellove jedandžbe poprimaju oblik:

\nabla\cdot\mathbf{D} = {\rho_{slob.}}
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0
\nabla\times\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = 0
\nabla\times\mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} = {\mathbf{J}_{slob.}}

Gdje je:

\mathbf{D} \ polje električnog pomaka
\mathbf{H} \ magnetizirajuće polje
{\rho_{slob.}} \ gustoća slobodnog električnog naboja (ukupna gustoća električnog naboja minus gustoća vezanih električnih naboja)
{\mathbf{J}_{slob.}} \ gustoća slobodne električne struje (ukupna gustoća električne struje minus gustoća vezanih električnih struja)

Veličine \mathbf{D} \ i \mathbf{H} \ nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana cjelokupna kompleksnost interakcije polja i sredstva (medija, tj. materijala u kojem se polje nalazi). Moguće je da ove veličine ovise o prethodnom stanju sredstva (histereza), također moguće je da su nelinearne i prostorno anizotropne. Ove jednadžbe za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednadžbe. Ipak, J.C. Maxwell ih je na sličan način prvobitno formulirao. Veze između \mathbf{E} \ i \mathbf{D} \ te između \mathbf{B} \ i \mathbf{H} \ zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva homogena i izotropna, te da se polja ne mijenjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vrijedi za dielektrične i paramagnetske materijale. Tada vanjsko električno polje stvara polarizaciju \mathbf{P} \ , koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetsko polje stvara magnetizaciju \mathbf{M} \ proporcionalnu magnetskom polju, te vrijedi:

\mathbf{P} \ = \chi_e \epsilon_0 \mathbf{E}
\mathbf{M} \ = \chi_m \mathbf{H}

Tada je:

\mathbf{D} \ = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \epsilon_0 (1 + \chi_e) \mathbf{E} = \epsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ) = \mu_0 (1 + \chi_m) \mathbf{H} = \mu \mathbf{H}

Rješavanje Maxwellovih jednadžbi[uredi VE | uredi]

Nuvola apps important yellow.svg    Ovaj dio članka je nedovršen ili treba nadopune. Pomozite Wikipediji i dopunite ga.

Veza Maxwellovih jednadžbi i specijalne teorije relativnosti[uredi VE | uredi]

Čista elektrostatika (samo Coulombov zakon) je nekonzistentna s Lorentzovim transformacijama koje predviđa specijalna teorija relativnosti, a isto tako su Maxwellove jednadžbe nekonzistentne s Galilejevim transformacijama, što je, povijesno gledajući i dovelo do otkrića specijalne teorije relativnosti. Može se pokazati da su Maxwellove jednadžbe relativistička generalizacija elektrostatike.