Niz

Općenito, niz možemo zamisliti kao objekte poredane po nekom pravilu, tako da uvijek znamo tko je prethodnik i sljedbenik svakog objekta u redu (osim eventualno prvog i zadnjeg).

Uzmimo za primjer razred od dvadeset učenika koji su poredani po abecednom redu. Za svakog od učenika znamo tko je "prije" njega (osim kod prvog), a tko "poslije" (osim kod zadnjeg). To možemo zamisliti kao da smo svakom od brojeva iz skupa $\lbrace 1, 2, 3,..., 20\rbrace$ pridružili po jednog učenika.

Sličan primjer su dani u tjednu (brojevima od 1 do 7 pridruženi su prvi dan, drugi dan,...).

Matematička definicija niza

Takvi primjeri motiviraju matematičku definiciju niza: funkciju $f: \mathbb{N} \rightarrow S$ zovemo niz u skupu S.

Dakle, niz je funkcija kojoj je domena skup prirodnih brojeva, a kodomena neki skup S. U prvom našem primjeru, skup S bi mogao biti {"Učenici razreda"}, a u drugom {"Dani u tjednu"}.

Niz se, umjesto uobičajene notacije $f(n)=...$, označava sa $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ili samo $(a_n)_n$ ili $(a_n)$.

Primjeri

Članovi niza zadanog sa $f(n)=\frac{1}{n}$ izgledaju ovako: $(a_n)_1=1,\ (a_n)_2=\frac{1}{2},\ (a_n)_3=\frac{1}{3},\ (a_n)_4=\frac{1}{4},...$

Primjećujemo da je brojnik uvijek jedan, a nazivnik su prirodni brojevi. Broju jedan je pridružen 1, broju dva 1/2, broju tri 1/3, i tako dalje. Zato kažemo da je npr. 1/16 šesnaesti član niza. Oznaka trotočje označava da je niz beskonačan.

Sama funkcija može biti definirana sa više od jednog pravila. Primjer za takvu funkciju je:

$g(n):\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$

$g(n) := \begin{cases} n, & \mbox{ako je }n\mbox{ is neparan} \\ 0, & \mbox{ako je }n\mbox{ paran} \end{cases}$

Ova funkcija također zadovoljava uvjete za niz jer joj je domena skup $\mathbb{N}$ (kodomena je skup $S=\mathbb{N}_0$).

Članovi ovog niza izgledaju ovako: $1,0,3,0,5,0,7,0,9,0,...$

Važni nizovi

Posebno su važni aritmetički niz i geometrijski niz.