Polinom

Polinom je matematička funkcija s jednom ili više varijabla koja se može zapisati kao linearna kombinacija umnožaka njihovih potencija, odnosno kao zbroj monoma sastavljenih od umnožaka konstante i kombinacija potencija svake od varijabla. Polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli je funkcija

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

u kojoj su koeficijenti je $a_{0}$, $a_{1}$,..., $a_{n}$ konstante i $a_{n}\neq 0$. Broj $a_{0}$ zove se slobodni koeficijent, a broj $a_{n}$ vodeći koeficijent.

Polinomi se skraćeno zapisuju pomoću simbola za zbrajanje,

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ .

Ponekad se polinomom zove sam polinomni izraz sa zbrojem raznih potencija neke veličine ili izraza, pa se pripadna funkcija navodi kao polinomna funkcija.

Stupanj polinoma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ za $a_{n}\neq 0$ je broj $n$. Pišemo ${\text{deg}}P=n$.

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te su česti u drugim granama znanosti poput fizike i računarstva.

Monomi, binomi, trinomi, itd.

Pribrojnici u polinomu nazivaju se monomi; oni su i sami polinomi s jednim članom. Monom je umnožak konstante i bilo koje kombinacije potencija varijabla. Tako su, na primjer

$-7x^{2}$,  $3x^{2}y$,  $-{\tfrac {1}{4}}xy^{5}z^{2}$,  $\xi y^{4}$

monomi u varijablama $x$, $y$ i $z$.

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana je trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak trinomu u dvije varijable:

$P(x,y)=(\underbrace {x-y} _{\text{binom}})^{2}=\underbrace {x^{2}-2xy+y^{2}} _{\text{trinom}}$

$P(x,y)=(\underbrace {x^{2}+y} _{\text{binom}})^{2}=\underbrace {x^{4}+2x^{2}y+y^{2}} _{\text{trinom}}$

Nul-polinom

Ako je polinom jednak nuli za sve vrijednosti svojih varijabli nazivamo ga nul-polinom i za nj ne definiramo stupanj (ili se ponegdje formalno uzima da je njegov stupanj $-\infty$ ili $-1$, ovisno o autoru).

Računske operacije s polinomima

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila. Rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom: očigledan primjer je dijeljenje polinoma $n$-tog stupnja polinomom $m$-tog stupnja kada je $n<m$.

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s $(-1)$ te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

Primjeri

Uzmimo $P(x)=x^{2}+x-2$ i $Q(x)=x-1$.

Njihovi zbroj i umnožak su:

$P(x)+Q(x)=x^{2}+2x-3$,

$P(x)\cdot Q(x)=x^{3}-3x+2$.

Opišimo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=R(x).$

Ta jednadžba ekvivalentna je s $x^{2}+x-2=(x-1)R(x).$ Prvi član polinoma $R(x)$ jednak je $x$ jer množenjem s $(x-1)$ mora dati član s jediničnim koeficijentom najveće potencije 2: $(x^{2}+x-2)=(x-1)({\color {Red}x}+\dots )$

Ostatak (...) je neki polinom $T(x)$ pa u prvom koraku imamo

$(x^{2}+x-2)=(x-1)({\color {Red}x}+T(x))$

$(x^{2}+x-2)=x^{2}-x+(x-1)T(x)$.

Dobivamo $2x-2=(x-1)T(x)$ čime je problem dijeljenja sveden na dijeljenje polinoma stupnja nižeg za 1.

U drugom koraku rješavamo $2x-2=(x-1)T(x)$.

$T(x)$ može jedino biti polinom stupnja 0 jer množeći $(x-1)$ ne smije dati potencije veće od 1: $2x-2=(x-1)({\color {Red}2}+\dots )$.

Ostatak (...) može biti samo nulpolinom, tj. 0. Mogli smo uočiti da je $2x-2=(x-1)\cdot 2$.

Rješenje je $R(x)=({\color {Red}x}+{\color {Red}2}+{\color {Red}0})$, odnosno $R(x)=x+2$.

Uporaba polinoma

Zbog jednostavnosti računanja s polinomima, posebno njihovog strojnog izvrjednjavanja, vrijedosti mnogih drugih funkcija često se aproksimiraju polinomom određenog stupnja na određenom intervalu. Ako je vrijednost funkcije poznata u konačno mnogo točaka, vrijednosti između točaka mogu se procijeniti interpolacijom iz polinoma koji u tim točkama daje egzaktne vrijednosti ili regresijom uz pomoć polinoma po volji izabranog stupnja koji po svim poznatim točkama daje najmanju pogrešku.

• 
  Vrijednosti nepoznate funkcije poznate su u sedam točaka
• 
  Vrijednosti između točaka mogu se procijeniti linearnom interpolacijom od točke do točke
• 
  Vrijednosti između točaka procijenjene interpolacijskim polinomom šestoga stupnja

Nultočke polinoma

U primjeni, kao i u teoriji, često je potrebno znati u kojim točkama polinomi poprimaju vrijednost nula. Te se točke nazivaju nultočkama ili korijenima polinoma. Ako je $\alpha$ nultočka polinoma $P(x)$, vrijedi $P(\alpha )=0$. Prema Bézoutovom poučku za polinome, $(x-\alpha )$ tada dijeli $P(x)$. Iz ovog poučka i osnovnog teorema algebre, koji kaže da svaki polinom stupnja većeg od nule ima nultočku u skupu kompleksnih brojeva, slijedi da svaki polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n nultočaka u skupu kompleksnih brojeva, s tim da pritom neke nultočke mogu biti višestruke kratnosti, odnosno da za neke nultočke može i $(x-\alpha )^{k}$ dijeliti $P(x)$, gdje se najveći takav $k$ naziva kratnošću nultočke. Vrijedi i sljedeće: ako su $\alpha _{1}$,$\alpha _{2}$, ..., $\alpha _{n}$ kompleksne nultočke polinoma $P(x)$ s vodećim koeficijentom $a_{n}$, on se može na jedinstven način zapisati kao umnožak n polinoma prvoga stupnja,

$P(x)=a_{n}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\dots (x-\alpha _{n})$