Red (matematika)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Pojednostavljeno govoreći, red je suma beskonačno mnogo članova nekog niza  (a_n)_{n \in \mathbf{N}}, tj. a_1+a_2+...+a_n+....

Objekti a_1,a_2,...,a_n,..., koji se nazivaju članovi reda, mogu označavati brojeve, funkcije, vektore, matrice, itd. Već prema tome šta su mu članovi, red može biti numerički red, funkcijski red, red vektora, red matrice. Umjesto navedenog, razvijenog zapisa reda, često se navodi skraćeni zapis \sum_{k=1}^\infty a_k, ili još kraće \sum a_k.

Formalno, red se definira kao granična vrijednost niza parcijalnih suma. Za članove niza  (a_n)_{n \in \mathbf{N}} definiramo novi niz  (S_n)_{n \in \mathbf{N}}, gdje je  S_n zbroj prvih n članova niza, tj.

 S_1 = a_1
 S_2 = a_1 + a_2
 S_3 = a_1 + a_2 + a_3
 S_n = a_1 + ... + a_n

Vrijednost  S_n nazivamo n-tom parcijalnom sumom reda. Vrijednost S = \lim_{n\to\infty}S_n tada nazivamo redom (ili ponekad, sumom reda). Ukoliko je vrijednost reda konačna, za red kažemo da je konvergentan. U suprotnom za red kažemo da je divergentan.

Red može imati i oblik

\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k=...+a_{-n}+...+a_{-1}+a_0+a_1+...+a_n+..., (npr. Loranov red) ali i oblik
\sum_{i,j=1}^\infty a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+...+a_{1n}+...)+(a_{21}+a_{22}+...+a_{2n}+...)+...+(a_{n1}+a_{n2}+...+a_{nn}+...),

Neki tipovi redova[uredi VE | uredi]

  • Geometrijski red je red kod koga se uzastopni članovi dobivaju množenjem prethodnih konstantnim brojem. Na primjer:
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.
U općem slučaju, geometrijski red
\sum_{n=0}^\infty z^n
konvergira akko |z| < 1.
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
Harmonijski red divergira.
  • Alternirajući red je red kod kojeg uzastopni članovi imaju suprotne predznake. Na primjer:
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.
  • Red
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}
konvergira ako r > 1 a divergira za r ≤ 1, što se može pokazati integralnim kriterijem za konvergenciju redova. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.
\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
konvergira ako niz bn konvergira limesu L kada n teži beskonačnosti. Tada je vrijednost reda b1L.

Apsolutna konvergencija[uredi VE | uredi]

Za red

\sum_{n=0}^\infty a_n

se kaže da apsolutno konvergira ako red apsolutnih vrijednosti

\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|

konvergira. U ovom slučaju, početni red, i sva njegova preuređenja, konvergiraju, i konvergiraju ka istoj sumi.

Po Rimannovom teoremu o redovima, ako red uvjetno konvergira, uvijek se može naći preuređenje članova reda tako da preuređeni red divergira. Štoviše, ako su an realni, i S je bilo koji realan broj, može se naći preuređenje koje konvergira ka S.