Red (matematika)

Red je skup matematičkih objekata $a_i$ tj. $a_1+a_2+...+a_n+...$.

Objekti $a_1,a_2,...,a_n,...,$ koji se nazivaju članovi reda, mogu označavati brojeve, ili funkcije, ili vektore, ili matrice, itd. Već prema tome šta su mu članovi, red može biti numerički red, funkcionalni red, red vektora, red matrice. Umjesto navedenog, razvijenog zapisa reda, često se navodi skraćeni zapis $\sum_{k=1}^\infty a_k,$ ili, ponekad, još kraće $\sum a_k.$ Za red kažemo da je konvergentan, ako postoji konačna granična vrijednost $\lim_{n\to\infty}S_n=S,$ gde je $S_n=a_1+a_2+...+a_n$. $S$ se naziva suma reda a $S_n$ n-ta parcijalna suma reda. Ako red nije konvergentan, onda kažemo da je divergentan. Red može imati i oblik

$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_k=...+a_{-n}+...+a_{-1}+a_0+a_1+...+a_n+...,$ (npr. Loranov red) ali i oblik

$\sum_{i,j=1}^\infty a_{ik}=(a_{11}+a_{12}+...+a_{1n}+...)+(a_{21}+a_{22}+...+a_{2n}+...)+...+(a_{n1}+a_{n2}+...+a_{nn}+...),$

Neki tipovi redova

• Geometrijski red je red kod koga se uzastopni članovi dobivaju množenjem prethodnih konstantnim brojem. Na primjer:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.$

U općem slučaju, geometrijski red

$\sum_{n=0}^\infty z^n$

konvergira akko |z| < 1.

• Harmonijski red je red

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

Harmonijski red divergira.

• Alternirajući red je red kod kojeg uzastopni članovi imaju suprotne predznake. Na primjer:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

• Red

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}$

konvergira ako r > 1 a divergira za r ≤ 1, što se može pokazati integralnim kriterijem za konvergenciju redova. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.

• Teleskopski red

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$

konvergira ako niz b_n konvergira limesu L kada n teži beskonačnosti. Tada je vrijednost reda b₁ − L.

Apsolutna konvergencija

Za red

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

se kaže da apsolutno konvergira ako red apsolutnih vrijednosti

$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$

konvergira. U ovom slučaju, početni red, i sva njegova preuređenja, konvergiraju, i konvergiraju ka istoj sumi.

Po Rimannovom teoremu o redovima, ako red uvjetno konvergira, uvijek se može naći preuređenje članova reda tako da preuređeni red divergira. Štoviše, ako su a_n realni, i S je bilo koji realan broj, može se naći preuređenje koje konvergira ka S.

[ar:متسلسلة]]