Talesov poučak

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Talesov poučak (prema Talesu iz Mileta) je geometrijski poučak koji kaže da ako su A, B i C točke na kružnici, a dužina između točaka A i C promjer kruga, onda je kutABC pravi (od 90°).

Thales-theorem.png

Dokaz[uredi VE | uredi]

Koristimo sljedeće dokaze: zbroj kutova u trokutu je jednak dvama pravim kutovima (180°) i da su kutovi osnovica jednakokračnih trokuta isti. Thales-proof.png

Neka O bude centar trokuta. Pošto je OA = OB = OC, OAB i OBC su jednakokračni trokuti, i po jednakosti kutova jedankokračnih trokuta je OBC = OCB i BAO = ABO. Neka γ = ∠BAO i δ = ∠OBC.

Pošto je zbroj kutova pravokutnog trokuta jednak 180 stupnjeva, imamo:

2γ + γ ′ = 180°

i

2δ + δ ′ = 180°

...također, znamo da je

γ ′ + δ ′ = 180°

Zbrajajući prve dvije jednadžbe i oduzimajući treću, dobivamo

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

...što nakon skraćivanja γ ′i δ ′, dobivamo

γ + δ = 90°