Elipsa

Ovo je glavno značenje pojma Elipsa. Za značenje u kontekstu književnosti, pogledajte Elipsa (figura).

Elipsa:
a = velika poluos
b = mala poluos

Elipsa (ili pokružnica) je zatvorena krivulja iz obitelji čunosječnica. Elipsa je određena dvjema poluosima: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e).

Uz zadane dvije točke u ravnini, točke F1 i F2 i duljinu 2a na kojoj su simetrično odabrane točke F1 i F2 uz uvjet 2a>d(F1, F2), tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F1 i F2 i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F1 i F2 jednak 2a.

Parametri

Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost /OF1/=/OF2/ nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

$\epsilon\, = \frac{e}{a} <1$

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

$e = \sqrt{a^2 - b^2}$

i

$b = \sqrt{a^2 - e^2}$

Jednadžba elipse

Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima 2a i 2b određena je jednadžbom

$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b ^2 \,$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\frac{ x ^2}{ a^2}+ \frac{y^2}{b^2}}= 1$

Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

$b^2(x-p)^2 + a^2(y-q)^2 = a^2b^2 \,$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

$\frac{(x-p)^2}{a^2}+ \frac{(y-q)^2}{b^2}= 1$

Tangenta elipse

Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T $(x_0, y_0)$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

$2b^2 xdx + 2a^2ydx = 0\,$

odakle slijedi da je

$y'= \frac{dy}{dx} = tan \alpha\, = - {\frac{b^2}{a^2} \frac{x_0}{y_0}}$

te da je jednadžba tangente na elipsu

$y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}}{\frac{x_0}{y_0}}(x-x_0)$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

$\frac{x_0x}{a^2} + \frac{y_0y}{b^2} = 1$

Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)

Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T $(x_0,y_0)$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

${2b^2(x-p)dx+2a^2(y-q)dy} = 0 \,$

odakle slijedi da je je

$y'= \frac{dy}{dx} = tan \alpha\, = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

$y-y_0 = -{\frac{b^2}{a^2}} {\frac{x_0-p}{y_0-q}}(x-x_0)$

Vidi također

• Ekscentricitet
• Prvi Keplerov zakon