Aksiomi Kolmogorova
Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.[1]
Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.[2]
Aksiomi[uredi | uredi kôd]
Neka je izmjeriv prostor. Funkcija jest vjerojatnost (na , na ) ako vrijedi:
- za svaki događaj (nenegativnost vjerojatnosti),
- (normiranost vjerojatnosti),
- i za povlači (σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).
Uređena trojka gdje je σ-algebra na nepraznom skupu i vjerojatnost na , zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre zovemo događaji, a za broj zovemo vjerojatnost događaja .[3]
Posljedice[uredi | uredi kôd]
Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.
Monotonost vjerojatnosti[uredi | uredi kôd]
Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.
Dokaz monotonosti vjerojatnosti[uredi | uredi kôd]
Neka su i , gdje je i za . Iz svojstava praznoga skupa (), lako se vidi da su u parovima disjunktni i . Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je
Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u slijedi i .
Vjerojatnost praznog skupa[uredi | uredi kôd]
Često, nije jedini događaj s vjerojatnošću 0.
Dokaz vjerojatnosti praznog skupa[uredi | uredi kôd]
jer je ,
koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je disjunktan sa samim sobom dobije se
oduzimanjem od obje strane jednadžbe.
Pravilo komplementa[uredi | uredi kôd]
Dokaz pravila komplementa[uredi | uredi kôd]
Kako su i međusobno isključivi i kako je :
(po trećemu aksiomu)
i, (po drugome aksiomu)
pa je konačno .
Izvori[uredi | uredi kôd]
- ↑ https://www.enciklopedija.hr/natuknica.aspx?ID=70131
- ↑ https://archive.org/details/foundationsofthe00kolm/page/n5/mode/1up
- ↑ N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, školska knjiga, Zagreb, 1992.