Aksiomi Kolmogorova

Aksiomi Kolmogorova ili aksiomi vjerojatnosti temelj su suvremene teorije vjerojatnosti koje je uveo čuveni ruski matematičar Andrej Kolmogorov u svojim radovima 1933. godine.

Prvi opis ovih aksioma može se naći u knjizi Opća teorija mjere i teorija vjerojatnosti iz 1929. Četiri godine kasnije, 1933., Kolmogorov je svoje aksiome formalno uveo u djelu Osnove teorije vjerojatnosti.

Aksiomi

Neka je $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ izmjeriv prostor. Funkcija $P:{\mathcal {F}}\rightarrow \mathbb {R}$ jest vjerojatnost (na $\Omega$, na ${\mathcal {F}}$) ako vrijedi:

• $P(A)\geq 0$ za svaki događaj $A\in {\mathcal {F}}$ (nenegativnost vjerojatnosti),
• $P(\Omega )=1$ (normiranost vjerojatnosti),
• $A_{i}\in {\mathcal {F}}(i\in \mathbb {N} )$ i $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ za $i\neq j$ povlači $P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$ (σ-aditivnost ili prebrojiva aditivnost vjerojatnosti).

Uređena trojka $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ gdje je ${\mathcal {F}}$ σ-algebra na nepraznom skupu $\Omega$ i $P$ vjerojatnost na ${\mathcal {F}}$, zove se vjerojatnosni prostor. Elemente σ-algebre ${\mathcal {F}}$ zovemo događaji, a za $A\in {\mathcal {F}}$ broj $P(A)$ zovemo vjerojatnost događaja $A$.

Posljedice

Iz Kolmogorovljevih aksioma slijedi niz korisnih svojstava vjerojatnosti. Dokazi ovih svojstava dobro ilustriraju moć trećega aksioma.

Monotonost vjerojatnosti

$\quad {\text{ako}}\quad A\subseteq B\quad {\text{tada}}\quad P(A)\leq P(B).$

Ako je A podskup od B, tada je vjerojatnost od A manja ili jednaka od vjerojatnosti od B.

Dokaz monotonosti vjerojatnosti

Neka su $E_{1}=A$ i $E_{2}=B\setminus A$, gdje je $A\subseteq B$ i $E_{i}=\varnothing$ za $i\geq 3$. Iz svojstava praznoga skupa ($\varnothing$), lako se vidi da su $E_{i}$ u parovima disjunktni i $E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B$. Dakle, iz trećega aksioma slijedi da je

$P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).$

Po prvome aksiomu, lijeva strana jednakosti je niz nenegativnih realnih brojeva, a kako teži u $P(B)$ slijedi $P(A)\leq P(B)$ i $P(\varnothing )=0$.

Vjerojatnost praznog skupa

$P(\varnothing )=0.$

Često, $\varnothing$ nije jedini događaj s vjerojatnošću  0.

Dokaz vjerojatnosti praznog skupa

$P(\varnothing \cup \varnothing )=P(\varnothing )$ jer je $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$,

$P(\varnothing )+P(\varnothing )=P(\varnothing )$ koristeći treći aksiom na lijevoj strani jednakosti i uzevši u obzir da je $\varnothing$ disjunktan sa samim sobom dobije se

$P(\varnothing )=0$ oduzimanjem $P(\varnothing )$ od obje strane jednadžbe.

Pravilo komplementa

$P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)$

Dokaz pravila komplementa

Kako su $A$ i $A^{c}$ međusobno isključivi i kako je $A\cup A^{c}=\Omega$:

$P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})$ (po trećemu aksiomu)

i, $P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1$ (po drugome aksiomu)

$\Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1$ pa je konačno $P(A^{c})=1-P(A)$.