Asocijativna algebra

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Asocijativna algebra je jedna od najčešće korištenih algebarskih struktura u matematici.

Neka je komutativni prsten s jedinicom. Pod neasocijativnom -algebrom podrazumijevamo par u kojem je modul nad i bilinearno preslikavanjem, kojeg zovemo množenjem algebre . Ta algebra je asocijativna ako je asocijativna operacija u običnom smislu, odnosno vrijedi za sve . Neke druge važne klase neasocijativnih algebri su Liejeve algebre, Jordanove algebre, Leibnizove algebre. Asocijativna -algebra je unitalna (ili: s jedinicom) ako postoji element takav da je . Tada je automatski prsten s jedinicom.

Ako su dva -modula, tada ih možemo promatrati kao centralne bimodule, pa je njihov tenzorski umnožak ponovno takav, dakle -modul. Kategorija -modula ima strukturu (simetrične) monoidalne kategorije s tim tenzorskim umnoškom kao monoidalnim i gdje je jedinični objekt. Poseban je slučaj tenzorskog umnoška kad je . Tada je bilinearnost množenja ekvivalentna uvjetu da se taj umnožak faktorizira kroz tenzorski umnožak, tj. postoji morfizam -modula takav da je gdje je kanonska projekcija (koja je dio definicije tenzorskog umnoška). Slično u unitalnom slučaju, element definira preslikavanje . Nije teško vidjeti da je unitalna asocijativna algebra onda i samo onda ako je monoid u monoidalnoj kategoriji -modula. Drugim riječima, i zadovoljavaju svojstva i gdje označava primjenu kanonskih izomorfizama kao identifikacija.

Ako je komutativni prsten s jedinicom tada unitalnu asocijativnu -algebrom možemo alternativno gledati i kao prsten s jedinicom zajedno s homomorfizmom prstena čija slika je u centru algebre .

Morfizam (ne)asocijativnih -algebri je morfizam pripadnih -modula koji zadovoljava jednakost i, u slučaju, unitalnih algebri .

Važan primjer asocijativne algebre je tenzorska algebra gdje je ( puta) -struki tenzorski umnožak -modula sa samim sobom (u slučaju to je ), a umnožak je spajanje (konkatenacija) tenzorskih umnožaka, to jest jedinstveno bilinearno proširenje formule koja je na dekompozabilnim elementima dana sa Općenitije, ako je asocijativna algebra, možemo na sličan način uvesti i tenzorsku algebru ma kojeg -bimodula . U posebnom slučaju, kad je ona je opremljena kanonskim morfizmom (zapravo ulaganjem) algebri .