Asocijativna algebra je jedna od najčešće korištenih algebarskih struktura u matematici.
Neka je
komutativni prsten s jedinicom. Pod neasocijativnom
-algebrom podrazumijevamo par
u kojem je
modul nad
i
bilinearno preslikavanjem, kojeg zovemo množenjem algebre
. Ta algebra je asocijativna ako je
asocijativna operacija u običnom smislu, odnosno
vrijedi za sve
. Neke druge važne klase neasocijativnih algebri su Liejeve algebre, Jordanove algebre, Leibnizove algebre.
Asocijativna
-algebra je unitalna (ili: s jedinicom) ako postoji element
takav da je
. Tada je automatski
prsten s jedinicom.
Ako su
dva
-modula, tada ih možemo promatrati kao centralne bimodule, pa je njihov tenzorski umnožak
ponovno takav, dakle
-modul.
Kategorija
-modula ima strukturu (simetrične) monoidalne kategorije s tim tenzorskim umnoškom kao monoidalnim i gdje je
jedinični objekt. Poseban je slučaj tenzorskog umnoška kad je
. Tada je bilinearnost množenja
ekvivalentna uvjetu da se taj umnožak faktorizira kroz tenzorski umnožak, tj. postoji morfizam
-modula
takav da je
gdje je
kanonska projekcija (koja je dio definicije tenzorskog umnoška). Slično u unitalnom slučaju, element
definira preslikavanje
. Nije teško vidjeti da je
unitalna asocijativna algebra onda i samo onda ako je
monoid u monoidalnoj kategoriji
-modula. Drugim riječima,
i
zadovoljavaju svojstva
i
gdje
označava primjenu kanonskih izomorfizama
kao identifikacija.
Ako je
komutativni prsten s jedinicom tada unitalnu asocijativnu
-algebrom možemo alternativno gledati i kao prsten
s jedinicom zajedno s homomorfizmom prstena
čija slika je u centru algebre
.
Morfizam (ne)asocijativnih
-algebri
je morfizam
pripadnih
-modula koji zadovoljava jednakost
i, u slučaju, unitalnih algebri
.
Važan primjer asocijativne algebre je tenzorska algebra
gdje je
(
puta)
-struki tenzorski umnožak
-modula
sa samim sobom (u slučaju
to je
), a umnožak je spajanje (konkatenacija) tenzorskih umnožaka, to jest jedinstveno bilinearno proširenje formule koja je na dekompozabilnim elementima dana sa
Općenitije, ako je
asocijativna algebra, možemo na sličan način uvesti i tenzorsku algebru
ma kojeg
-bimodula
. U posebnom slučaju, kad je
ona je opremljena kanonskim morfizmom (zapravo ulaganjem) algebri
.