Boltzmannova jednadžba

Boltzmannova jednadžba ili Boltzmannova transportna jednadžba temeljna je jednadžba u statističkoj mehanici koja opisuje statističko ponašanje termodinamičkog sustava koji nije u termodinamičkoj ravnoteži. Jednadžba opisuje vremensku evoluciju funkcije raspodjele čestica razrijeđenog plina i pruža most između mikroskopske dinamike čestica i makroskopskog termodinamičkog ponašanja. Osmislio ju je Ludwig Boltzmann 1872. godine, a čini osnovu kinetičke teorije plinova i objašnjava pojave poput transportnih procesa, viskoznosti i prijalaza sustava u termodinamičku ravnotežu (ekvilibrijum).

Klasičan primjer sustava u kojem se koristi Boltzmannova jednadžba je fluid s temperaturnim gradijentima u prostoru koji uzrokuju protok topline iz toplijih područja u hladnija, slučajnim, ali usmjerenim prijenosom čestica koje čine taj fluid. Također se mogu izvesti druga svojstva poput električne vodljivosti, tretiranjem nositelja naboja u materijalu kao plin. U modernoj literaturi termin Boltzmannova jednadžba često se koristi u općenitijem smislu, odnoseći se na bilo koju kinetičku jednadžbu koja opisuje promjenu makroskopske veličine u termodinamičkom sustavu, poput energije, naboja ili broja čestica. Primjene su također u fizici plazme, fizici čvrstog stanja i kozmologiji.

Jednadžba ne opisuje točan položaj i količinu gibanja svake pojedinačne čestice u fluidu, već uvodi funkciju raspodjele vjerojatnosti za položaj i količinu gibanja te time funkcija daje vjerojatnost čestičinog zauzimanja infinitezimalnoga elementa volumena $d^{3}\mathbf {r}$ i $d^{3}\mathbf {p}$ u faznom prostoru.

Sama jednadžba je nealinearna integro-diferencijalna jednadžba, a nepoznata funkcija u jednadžbi je funkcija gustoće vjerojatnosti u šestodimenzionalnom prostoru položaja i količine gibanja čestice. Problem postojanja i jedinstvenosti rješenja još uvijek nije u potpunosti riješen.

Pregled

Fazni prostor

Skup svih mogućih položaja $\mathbf {r}$ i momenta $\mathbf {p}$ naziva se fazni prostor sustava; to je skup od tri koordinate za položaj x, y, z i još tri za svaku komponentu momenta $p_{x},p_{y},p_{z}$. Cijeli prostor je 6-dimenzionalni: točka u ovom prostoru je $(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )=(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z})$, a svaka koordinata je parametrizirana u vremenu $t$.

Funkcija gustoće vjerojatnosti se u Boltzmannovoj jednadžbi definira kao $f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)$ tako da $dN=f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}\mathbf {x} \,d^{3}\mathbf {p}$ daje očekivani broj čestica u malom volumenu faznog prostora $d^{3}\mathbf {x} \,d^{3}\mathbf {p}$ oko položaja $\mathbf {x}$ i momenta $\mathbf {p}$ u trenutku $t$.

Jednadžba

Opća jednadžba se može zapisati kao: $${\frac {df}{dt}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{sila}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{difuzija}}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{sudar}},$$

gdje je $f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ jednočestična funkcija gustoće vjerojatnosti definirana na faznom prostoru. Izraz „sila” odgovara silama koje na čestice djeluju vanjskim utjecajem, ne samim česticama, izraz „difuzija” predstavlja difuziju čestica, a „sudar” je izraz sudara – koji uzima u obzir sile koje djeluju između čestica u sudarima.

Specifičan oblik:

$${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla f+\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {sudar} }$$

Ovdje, $\mathbf {F}$ je polje sile koje djeluje na čestice u fluidu, a $m$ je masa čestica. Izraz s desne strane dodan je kako bi se opisao učinak sudara između čestica; ako je nula, tada se čestice ne sudaraju.

Pomoću Poissonovih zagrada, možemo zapisati i sljedeći oblik:

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {sudar} }$.

Član sudara (Stosszahlansatz) i molekularni kaos

Ključni uvid koji je primijenio Boltzmann bio je odrediti član sudara koji je rezultat isključivo sudara dvaju tijela između čestica za koje se pretpostavlja da nisu u korelaciji prije sudara. Ovu pretpostavku Boltzmann je nazvao "nj. Stosszahlansatz", a poznata je i kao "pretpostavka o molekularnom kaosu".

Pod ovom pretpostavkom, član sudara može se zapisati kao integral prostora impulsa nad produktom jednočestičnih funkcija raspodjele: $$\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{sudar}}=\iint gI(g,\Omega )[f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p'} _{B},t)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{A},t)f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} _{B},t)]\,d\Omega \,d^{3}\mathbf {p} _{B},$$ gdje su $\mathbf {p} _{A}$ i $\mathbf {p} _{B}$ momenti bilo koje dvije čestice (označene kao A i B radi praktičnosti) prije sudara, a $\mathbf {p'} _{A}$ i $\mathbf {p'} _{B}$ su momenti nakon sudara, $$g=|\mathbf {p} _{B}-\mathbf {p} _{A}|=|\mathbf {p'} _{B}-\mathbf {p'} _{A}|$$ je magnituda relativnih količina gibanja, a $I(g,\Omega )$ je diferencijalni presjek sudara, u kojem se relativna količina gibanja čestica koje se sudaraju okreće za kut $\theta$ u element prostornog kuta $d\Omega$, zbog sudara.

Loschmidtov paradoks - Umkehreinwand

Ludwig Boltzmann je pomoću svojeg poznatog H-teorema i Boltzmannove jednadžbe pokušao izvesti drugi zakon termodinamike.

Kao što je poznato, jednadžbe klasične mehanike su vremenski reverzibilne, ali svijet oko nas, na makro razini ima preferencu prema jednom vremenskom smjeru, koji prati strijelu vremena, odnosno vremenski je asimetričan te je začuđujuće kako se vremenski asimetrični zakoni pojavljuju iz vremenski simetričnih jednadžbi klasične mehanike na mikro razini te time nastaje paradoks. Taj paradoks se zove Loschmidtov padaroks po Josefu Loschmidtu koji ga prvi postavio.

BBGKY hijerarhija

Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon (BBGKY) hijerarhija je skup jednadžbi koje opisuju dinamiku sustava velikog broja čestica koje međusobno djeluju.

Evolucija sustava od N čestica u odsutnosti kvantnih fluktuacija dana je Liouvilleovom jednadžbom za funkciju gustoće vjerojatnosti $f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)$ u 6N-dimenzionalnom faznom prostoru (3 prostora i 3 koordinate momenta po čestici):

$${\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,$$

gdje su $\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}$ položaj i moment za $i$-tu česticu s masom $m$, a neto sila koja djeluje na $i$-tu česticu je

$$\mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},$$

gdje je $\Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})$ parni potencijal za interakciju između čestica, i $\Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})$ je potencijal vanjskog polja.

Parcijalnom integracijom, Liouvilleova jednadžba može se transformirati u lanac jednadžbi gdje prva jednadžba povezuje evoluciju funkcije gustoće vjerojatnosti jedne čestice s funkcijom gustoće vjerojatnosti dvije čestice, druga jednadžba povezuje funkciju gustoće vjerojatnosti dvije čestice s funkcijom gustoće vjerojatnosti tri čestice, a općenito s-ta jednadžba povezuje s-funkciju gustoće vjerojatnosti.

$$f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}$$

s funkcijom gustoće vjerojatnosti čestica (s + 1):

$${\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.$$

Gornja jednadžba za s-funkciju raspodjele čestica dobiva se integracijom Liouvilleove jednadžbe po varijablama $\mathbf {q} _{s+1}\mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\mathbf {p} _{N}$. Problem s gornjom jednadžbom je što nije zatvorena. Za rješavanje $f_{s}$, potrebno je znati $f_{s+1}$, što pak zahtijeva rješavanje $f_{s+2}$ i sve do početne Liouvilleove jednadžbe. Međutim, može se riješiti $f_{s}$ ako se $f_{s+1}$ može modelirati. Jedan takav slučaj je Boltzmannova jednadžba za $f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)$, gdje je $f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)$ modelirano na temelju hipoteza molekularnog kaosa (Stosszahlansatz). Zapravo, u Boltzmannovoj jednadžbi $f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)$ je integral sudara. Ovaj granični proces dobivanja Boltzmannove jednadžbe iz Liouvilleove jednadžbe poznat je kao Boltzmann-Gradov limes.

Chapman–Enskog teorija

Chapman-Enskogova teorija pruža okvir u kojem se jednadžbe dinamike fluida za plin mogu izvesti iz Boltzmannove jednadžbe. U toj teoriji funkcija gustoće vjerojatnosti razvija se u perturbacijski red Knudsenovog broja te svaki član u razvoju opisuje jednu razinu opisivanja gibanja fluida.

Knudsenov broj definiran je kao omjer duljine slobodne putanje čestice i referentne fizikalne duljine sustava u kojem se nalazi fluid

$\epsilon ={\displaystyle \mathrm {Kn} \ ={\frac {\lambda }{L}},}$

Razvijanjem funkcije gustoče vjerojatnosti u red dobije se:

$f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)=f_{0}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)+\epsilon f_{1}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)+\epsilon ^{2}f_{2}(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)+\cdots .$

Za $f_{0}$ dobije se Maxwell-Boltzmannova distribucija, za $f_{1}$ Navier-Stokesove jednadžbe, a za $f_{2}$ dobiju se Burnettove jednadžbe koje su poopćenje Navier-Stokesovih jednadžbi i koriste s u režimima kad NS jednadžbe ne funkcioniraju(strujanje koje nije stanju ekvilibrija, strujanje na mikro razini, nadzvučno strujanje u razrijeđenoj atmosferi...).

Primjene

Kvantna teorija

Kvantna Boltzmannova jednadžba, poznata i kao Uehling-Uhlenbeckova jednadžba, je kvantno mehanička modifikacija Boltzmannove jednadžbe, koja daje vremensku evoluciju plina kvantno-mehanički čestica koje su u interakciji u neekvilibrijumu. Kvantna Boltzmannova jednadžba daje se samo kao član sudara pune Boltzmannove jednadžbe, dajući promjenu raspodjele momenta lokalno homogenog plina, ali ne i difuziju u prostoru. Izvorno su je formulirali L.W. Nordheim (1928.), te E. A. Uehling i George Uhlenbeck (1933.).

U općem obliku jednadžba izgleda kao: $$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{x}+\mathbf {F} \cdot \nabla _{p}\right]f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)={\mathcal {Q}}[f](\mathbf {x} ,\mathbf {p} )$$

gdje je ${\mathcal {Q}}$ operator sudara.

Opća relativnost i kozmologija

Boltzmannova jednadžba je korisna i u galaktičkoj dinamici. Galaksija, pod određenim pretpostavkama, može se aproksimirati kao kontinuirani fluid; njezina raspodjela mase tada je predstavljena s $f$. U galaksijama su fizički sudari između zvijezda vrlo rijetki, a učinak gravitacijskih sudara može se zanemariti za vremena daleko dulja od starosti svemira.

Njezino poopćenje u općoj relativnosti je: $$p^{\alpha }{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}-\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial f}{\partial p^{\alpha }}}=C[f],$$ gdje je $\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }$ Christoffelov simbol druge vrste (ovo pretpostavlja da nema vanjskih sila, tako da se čestice kreću duž geodezijskih linija dok nema sudara), s time da je gustoća $f$ funkcija u miješanom kontravarijantno-kovarijantnom $(x^{i},x_{p})$ faznom prostoru, za razliku od potpuno kontravarijantnog $(x^{i},p^{i})$ faznog prostora.

U kozmologiji, potpuno kovarijantni pristup korišten je za proučavanje kozmičkog mikrovalnog pozadinskog zračenja. Općenito, proučavanje procesa u ranom svemiru često pokušava uzeti u obzir učinke kvantne mehanike i opće relativnosti.