Boltzmannova raspodjela

Boltzmannova raspodjela je eksponencijalna raspodjela.

Boltzmannova raspodjela je funkcija gustoće vjerojatnosti koja opisuje vjerojatnost pronalaska sustava u određenom mikrostanju, kao funkciju energije tog mikrostanja i temperature toplinskog spremnika s kojim je taj sustav u termodinamičkoj ravnoteži.

Termin "sustav" ovdje ima široko značenje; može se odnositi na samo jedan atom, skupinu od nekoliko atoma pa sve do makroskopskog sustava mnoštva čestica.

Boltzmannova raspodjela dobila je ime po Ludwigu Boltzmannu koji ju je prvi formulirao 1868. godine tijekom istraživanja plinova u toplinskoj ravnoteži.

Raspodjela

Boltzmannova raspodjela:

${\mathcal {P}}(s)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}e^{\frac {-E(s)}{kT}}$

može se izvesti pomoću Boltzmannove jednadžbe za entropiju $S=k_{b}ln(\Omega )$ i temeljne termodinamičke relacije $dU=TdS-pdV$.

Nazivnik ${\mathcal {Z}}=\sum _{s}e^{\frac {-E(s)}{kT}}$ zove se particijska funkcija.

Maxwell–Boltzmannova raspodjela

Ako se za energiju u Boltzmannovu raspodjelu uvrsti Hamiltonian za slobodnu česticu $E=H={\frac {p^{2}}{2m}}$ dobije se Maxwell–Boltzmannova raspodjela za količinu gibanja u $1D$.

${\mathcal {P}}(p)={\frac {e^{-{\tfrac {p^{2}}{2mkT}}}}{\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\tfrac {p^{2}}{2mkT}}}\,dp}}$