Cayley-Hamiltonov teorem

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

Njen karakteristični polinom je

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

Dokaz[uredi VE | uredi]

Svaka matrica : ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

To jest u matričnom obliku je:

gdje je : kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :, koja je jednaka:

gdje je : jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice : je jednaka:

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:

Slijedi:

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

Razvijmo sumu u red oblika:

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice :

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

. . . . . . . . .

Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

. . . . . . . . .

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:


P math.png Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.