Cayley-Hamiltonov teorem

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Cayley-Hamiltonov teorem je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Glasi:

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.

Promotrimo na primjer matricu

A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

Njen karakteristični polinom je

p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

A u suglasju s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

A^2-5A-2I_2=0

Dokaz[uredi VE | uredi]

Svaka matrica :A ima svoj karakteristicni polinom koji je jednak:

P(\lambda)=a_n*\lambda^n+a_{n-1}*\lambda^{n-1} +...+a_1*\lambda+a_0=0

To jest u matričnom obliku je:

P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1} +...+a_1*A+a_0=0

gdje je :A kvadratna matrica.

Definirajmo drugu matricu :B, koja je jednaka:

B=(A - \lambda*E)

gdje je :E jedinična matrica.

Inverzna matrica matrice :B je jednaka:

B^{-1}=\frac{1}{det(B)}*adj(B)

Pomnožimo ovu matrinčnu jednadžbu sa B s lijeve i desne strane:

B*B^{-1}=\frac{B}{det(B)}*adj(B)
B^{-1}*B=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B

Slijedi:

E=\frac{B}{det(B)}*adj(B)
E=\frac{1}{det(B)}*adj(B)*B
det(B)*E=B*adj(B)
det(B)*E=adj(B)*B

Adjungovana matrica matrice B se može predstaviti kao:

\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n

Ako ovo uvrstimo u jednu od prethodnih formula, dobijemo:

det(B)*E=B*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n
det(B)*E=(A -\lambda*E)*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n
det(B)*E=A*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n - \lambda*E*\sum_{n=1}^{n-1} \lambda^n*B_n

Razvijmo sumu u red oblika:

det(B)*E=A*B_0 +A*\lambda*B_1 + A*\lambda^2*B_2+...+A*\lambda^{n-1}*B_{n-1} - \lambda*B_0-\lambda^2*B_1-...-\lambda^n*B_{n-1}

Izvucimo zajedničke množitelje za članove reda ispred zagrade:

det(B)*E=A*B_0 +\lambda*(A*B_1-B_0) + \lambda^2*(A*B_2-B_1)+...+\lambda^{n-1}(A*B_{n-1}-B_{n-2}) - \lambda^n*B_{n-1}

Usporedimo ovu jednadžbu sa karakterističnim polinomom matrice :A

P(A)=a_n*A^n+a_{n-1}*A^{n-1} +...+a_1*A+a_0=0

Da bi ova dva polinoma bila jednaka, njihovi članovi moraju biti jednaki to jest:

A*B_0=a_0*E
A*B_1-B_0=a_1*E

. . . . . . . . .

A*B_{n-1}-B_{n-2}=a_{n-1}*E
B_{n-1}=a_n*E

Ako dobijeni sistem jednadžbi pomnožimo sa A u rastućem redoslijeu, počev od druge jednadžbe, dobijemo:

A*B_0=a_0*E
A^2*B_1-A*B_0=a_1*A

. . . . . . . . .

A^n*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}=a_{n-1}*A^{n-1}
A^n*B_{n-1}=a_n*A^n

Ako sve ove jednadžbe uvrstimo u karakterističnu jednadžbu, dobijemo:

P(A)=A*B_0+A^2*B_1-A*B_0+...+A^n*B_{n-1}-A^{n-1}B_{n-2}-A^n*B_{n-1}

Nakon sređivanja jednakosti dobijemo da je:

P(A)=0


P math.png Nedovršeni članak Cayley-Hamiltonov teorem koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.