Descartesovo pravilo predznaka

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Descartesovo pravilo predznaka je teorem u algebri koji kaže da je broj pozitivnih korijena ili nultočaka polinoma (brojeći višestrukost) manji ili jednak broju promjena predznaka koeficijenata polinoma Drugi dio teorema kaže da su ta dva cijela broja iste parnosti.[1]

Na primjer, predznaci koeficijenata polinoma redom su (+, +, −, +). U nizu su dvije promjene predznaka, pa prema Descartesovom pravilu polinom ima najviše 2 pozitivna korijena. Zbog drugoga dijela teorema polinom ne može imati samo jedan pozitivan korijen, ali može biti bez ijednoga.

Ovaj teorem je nazvan po slavnom francuskom matematičaru i filozofu Renéu Descartesu koji ga je prvi zapisao u svom djelu La Géométrie davne 1637.

Teorem se može koristiti i za broj negativnih korijena polinoma jer je taj broj jednak broju pozitivnih korijena polinoma

Dokaz indukcijom[uredi | uredi kôd]

Descartesovo pravilo ćemo ovdje geometrijski dokazati metodom matematičke indukcije.

Pretpostavimo, bez smanjenja općenitosti, da je vodeći koeficijent polinoma pozitivan.

Uočimo da ako je možemo izlučivati iz sve dok ne dođemo do polinoma oblika gdje je polinom kojemu slobodni član nije jednak nuli. Ovaj postupak nije moguće napraviti samo ako je izvorni polinom u obliku Primjerice, možemo računati

Uzimo sada opet opći polinom uz . Ako je broj promjena predznaka je paran jer bismo imali (+, ..., +). S druge strane, za dovoljno veliki vrijedi (slijedi iz svojstva injektivnosti i neprekidnosti polinomne funkcije i iz činjenice da je član za dovoljno veliki dominantan nad ostalim članovima). Kako su slijedi da će siječi apscisnu ili x-os u intervalu paran broj puta (tj. broj nultočaka je paran).

Ako je pak broj promjena predznaka bi bio neparan jer bismo imali (+, ..., -) i iz analogno bi slijedilo da postoji dovoljno veliki za koji je pa bi taj graf sijekao x-os neparan broj puta (tj. broj nultočaka je neparan).

Treba napomenuti da ovo vrijedi i ako polinom ima višestruke korijene. Naime, ako neki polinom ima -terostruki korijen možemo ga napisati kao . Ako je njegov graf dodiruje točku lokalno u približnom obliku parabole, tj. slova "U", što ne mijenja parnost broja presjeka polinoma s x-osi. Za polinom se lokalno ponaša približno kao kubna funkcija u pa se ni tada parnost broja presjeka grafa s x-osi ne mijenja.

Dakle, vidimo da su broj pozitivnih korijena polinoma i broj promjena predznaka njegovih koeficijenata iste parnosti.

Sada pretpostavimo da je broj pozitivnih korijena veći od broja promjena predznaka koeficijenata polinoma Uočimo da je tada barem za 2 veći od

No, je polinom s nultočkama između svake dvije nultočke polinoma (slijedi iz Rolleovog teorema).

To znači da je broj nultočaka polinoma veći ili jednak

Uočimo još da su brojevi promjena predznaka polinoma jednaki (to slijedi iz pravila za derivaciju polinoma)

Zbog toga slijedi da je broj nultočaka polinoma veći točno za 1 od što nije moguće jer 1 nije paran broj.

Prema tome, pretpostavka je pogrešna pa je što je i trebalo pokazati.[2][3]

Izvori[uredi | uredi kôd]