Eulerove jednadžbe (dinamika krutog tijela)

U fizici, Eulerove jednadžbe su jednadžbe koje opisuju rotaciju krutog tijela, korištenjem rotirajućeg referentnog sustava čije su osi fiksne za rotirajuće tijelo.

Eulerove jednadžbe predstavljaju rotacijski pandan drugom Newtonovom zakonu.

Nazvane su u čast Leonharda Eulera.

Formalizam

Bilanca kutne količine gibanja (kinetičkog momenta) glasi:

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {M} ,$

gdje je:

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}$ ukupni kinetički moment sustava,

$\mathbf {M} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}$ rezultantni moment sile koji djeluje na sustav.

Ova jednadžba izražava rotacijski oblik Newtonovog drugog zakona i kaže da je brzina promjene kutnog momenta jednaka primijenjenom momentu sile.

Eulerove jednadžbe

Koristeći transportni teorem bilanca kutne količine gibanja glasi:

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} ,$

odnosno u indeksnom zapisu glasi:

${\frac {dL_{i}}{dt}}+\epsilon _{ijk}\omega _{j}L_{k}=M_{i}.$

Ukoliko se osi koordinatnog sustava koji je fiksiran za tijelo poklapaju s glavnim osima tromosti tijela, tada vrijedi da je $L_{i}=I_{i}\omega _{i}$ te jednadžba se može zapisati kompaktno u vektorskom obliku kao:

$\mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .$

gdje je $\mathbf {M}$ rezultatntni moment sile,$\mathbf {I}$ je tenzor inercije, a ${\dot {\boldsymbol {\omega }}}$ je vektor kutno ubrzanje. Sve veličine definirane u rotirajućem referentnom sustavu.

Ukoliko se raspišu, Eulerove jednadžbe zapravo čine sustav običnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda:

${\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}$

gdje su $M_{k}$, $I_{k}$ i $\omega _{k}$ raspisani po komponentama.

Izvod

Kinetički moment čestice glasi:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

Euler-Arnoldova jednadžba

Eulerove jednadžbe za dinamiku krutog tijela mogu se izvesti iz Euler-Arnoldove jednadžbe, klase parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju geodetski tok na beskonačno-dimenzionalnim Liejevim grupama opremljenim desno-invarijantnim metrikama. Također, Eulerove jednadžbe dinamike fluida mogu se izvesti iz iste Euler-Arnoldove jednadžbe.