Klein-Gordonova jednadžba

Izvor: Wikipedija
Jump to navigation Jump to search

Klein–Gordonova jednadžba (Klein–Fock–Gordonova jednadžba ili ponekad Klein–Gordon–Fockova jednadžba) je relativistička verzija Schrödingerove jednadžbe. Također je kvantizirana verzija relativističke relacije energije s momentom. Rezultati jednadžbe su kvantno skalarno ili pseudoskalarno polje čiji su kvanti bez spina. Teorijski značaj jednadžbe jednak je značaju Diracove jednadžbe.[1] Elektromagnetske interakcije se mogu uvrstiti, što daje temu skalarne elektrodinamike, no budući da su čestice bez spina, na primjer pi-mezoni, nestabilni i doživljavaju jake interakcije, praktična korisnost jednadžbe je ograničena.

Klein–Gordon jednadžba s parametrom mase je

Rješenja jednadžbe su kompleksne funkcije  vremenske varijable i prostornih varijabli ; Laplasov operator djeluje samo na prostorne varijable.

Jednadžba se često skraćuje na

gdje su i d'Alembertovi operatori, definirani kao

(Koristi se (−, +, +, +) metrički potpis.)

Klein–Gordonova jednadžba se najčešće zapisuje u prirodnim jedinicama:

Forma je određena time da rješenja zapisana kao ravninski valovi:

poštuju relaciju energije i momenta sile specijalne teorije relativnosti:

Za razliku od Schrödingerove jednadžbe, Klein–Gordonova jednadžba priznaje dvije vrijednosti ω za svaki k, pozitivnu i negativnu. Samo razdiobom pozitivnih i negativnih dijelova frekvencije dobiva se jednadžba koja opisuje relativističku valnu funkciju. Za slučaj nezavisan o vremenu, Klein–Gordonova jednadžba postaje

te je formalno ista homogeno zapisanoj Poissonovoj jednadžbi.

Derivacija[uredi VE | uredi]

Nerelativistička jednadžba energije slobodne čestice je

Kvantizacijom se dobiva nerelativistička Schrödingerova jednadžba slobodne čestice,

gdje je

 Operator momenta ( je del-operator), a

je energetski operator.

Schrödingerova jednadžba nije relativistički kovarijantna, odn. ne uzima u obzir Einsteinovu posebnu relativnost.

Prirodno se koristi identitet posebne relativnosti koji opisuje energiju:

Tada se samo ubace kvantno-mehanički operatori za moment i energiju kako bi se dobila jednadžba

No, ovo je nepraktična jednadžba jer se diferencijalni operator ne može izračunati dok je pod korijenom.

Klein i Gordon su umjesto toga krenuli s kvadratom gornje jednadžbe:

koja, kad se kvantizira, daje

što se može pojednostaviti na

Preuređivanjem elemenata dobivamo

U jednadžbi nema imaginarnih brojeva, pa se može primijeniti u područjima koja imaju realne vrijednosti, kao i na ona sa imaginarnim vrijednostima.

Bilješke[uredi VE | uredi]

  1. Gross 1993