Kompleksni broj

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

Kompleksni brojevi su izrazi oblika , gdje su i realni brojevi, a imaginarna jedinica.

Zbrajanje, množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva definira se formulama:

U kompleksnom broju broj se naziva realni dio, piše se , a broj je imaginarni dio, i piše se .

Kompleksan broj čiji je realni dio jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.

Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rješavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primjer, problema o prolazu struje kroz vodič, o profilu krila aviona itd.

Ništa manje važna nije primjena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primjer, za određivanje korijena kubne jednadžbe potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Povijesno, kompleksni su brojevi uvedeni radi rješavanja kvadratne jednadžbe. Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povoda za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Leibnitz). Velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Euleru. Kompleksni broj se aksiomatski definira kao uređen par realnih brojeva . Formule zbrajanja, množenja, dijeljenja se postuliraju ovako:

,
,
.

Par se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom . Iz potonjih formula slijedi da je . Operacije nad kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije nad kompleksnim brojevima pod radikalima (korijenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je

.

Trigonometrijski oblik[uredi VE | uredi]

Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:

,

, za i za ; kada je onda je , ako je i , ako je . Broj se naziva modul kompleksnog broja, a je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je vrlo pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se zbrajaju. Iz ovog pravila proizlazi [[De Moivre|De Moivreova formula:

.

Kompleksni se brojevi često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravnini (slika dolje). Geometrijski smisao brojeva vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se zbrajaju po pravilu paralelograma.

Kompleksna-ravan.gif

Duljina vektora je modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorinog poučka. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sustava: .

Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Vrijedi sljedeća Eulerova formula:

;

preko nje se definira stupnjevanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.

Kompleksni brojevi oblikuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa , takvog da je .