Krivuljni integral

U matematici, krivuljni integral ili krivolinijski integral je integral skalarnog ili vektorskog polja po glatkoj krivulji.

Vrijednost linijskog integrala je zbroj vrijednosti polja u svim točkama krivulje, ponderiran nekom skalarnom funkcijom na krivulji (obično duljinom luka ili, za vektorsko polje, skalarnim produktom vektorskog polja s diferencijalnim vektorom u krivulji). Ovo ponderiranje razlikuje linijski integral od jednostavnijih integrala definiranih na intervalima.

Definicija

Linijski integral skalarnog polja $f$ predstavlja površinu ispod krivulje $C$ duž plohe $z=f(x,y)$ opisanog tim poljem.

Za neko skalarno polje $f:U\to \mathbb {R}$, gdje je $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, i za djelomično glatku krivulju $\Gamma \subset U$, krivuljni integral prve vrste definira se kao

$\int _{a}^{b}f(x,\phi (x)){\sqrt {1+[\phi '(x)]^{2}}}dx=\int _{\Gamma }fds$

s jednadžbom $y=\phi (x)$, a $f$ je neprekidna funkcija (skalarno polje).

Ukoliko je $\Gamma$ zadana parametarski s $x=x(t),y=y(t)$ onda je krivuljni integral

$\int _{a}^{b}f(x(t),y(t)){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt$

Postoji i kraći zapis. Označi se parametrizacija krivulje $\Gamma$ sa $r(t)$ (funkcija koja mora biti bijekcija iz segmenta [a, b]) i vektor položaja sa $\mathbf {r} (t)$ tako da $\mathbf {r} '(t)\neq 0$ na cijelom segmentu. Tada se krivuljni integral može zapisati kao

$\int _{a}^{b}f[r(t)]|\mathbf {r} '(t)|dt=\int _{\Gamma }fds$

gdje je s $ds$ označen diferencijal luka i s vertikalnim crtama označena standardna norma vektora.

Ako je funkcija f vektorsko polje, integral se definira analogno, ali je onda bitno kako je krivulja orijentirana, što se u literaturi označava usmjerenim lukom iznad simbola krivulje. U tom slučaju integral je krivuljni integral druge vrste.

Linijski integral vektorskog polja

Putanja čestice duž krivulje unutar vektorskog polja. Polazeći od točke a, čestica prati put C duž vektorskog polja F. Skalarni produkt (zelena linija) njezinog tangentnog vektora (crvena strelica) i vektora polja (plava strelica) definira površinu ispod krivulje, što je ekvivalentno linijskom integralu putanje.

Za vektorsko polje $\mathbf {F} :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$, linijski integral duž glatke krivulje $C\subset U$, u smjeru $\mathbf {r}$, definira se kao

$$\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t),dt$$

gdje je $\cdot$ skalarni produkt, a $\mathbf {r$ :[a,b]\to C} parametrizacija (tj. $|\mathbf {r} '(t)|\neq 0;;\forall t\in [a,b]$) krivulje $C$ takva da $\mathbf {r} (a)$ i $\mathbf {r} (b)$ određuju krajnje točke od $C$.

Primjene

Određeni odnosi u fizici se mogu modelirati pomoću krivuljnih integrala, na primjer, ako je poznata gustoća točaka po nekoj krivulji, onda je masa krivulje krivuljni integral prve vrste. Ako je krivulja put koji je prešla točka na koju je djelovala sila, onda se rad te sile može računati pomoću krivuljnih integrala.