Kvadratni korijen

Kvadratni korijen od i

Kvadratni korijen matematička je operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

${\sqrt {x}}$, i čita se kao „korijen iz x“.

Potpuno ispravno bilo bi pisati i ${\sqrt[{2}]{x}}$ te izgovarati „kvadratni korijen od x“, međutim to se rjeđe radi iz razloga, što se najveći broj slučajeva odnosi na kvadratni korijen, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis.

Definicija

Ova operacija definira se sljedećom relacijom:

Kvadratni korijen broja x je ne-negativan broj, koji pomnožen sam sa sobom daje x.

Na primjer, ${\sqrt {9}}=3$ pošto je $3^{2}=3\cdot 3=9\,$.

Primjer pokazuje kako se kvadratni korijen pojavljuje prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe $x^{2}=9\,$.

Općenito kvadratna jednadžba ima oblik $ax^{2}+bx+c=0\,$ i za njeno rješavanje neophodna je primjena kvadratnoga korijena.

Osobine

• Glavna vrijednost kvadratnoga korijena je funkcija $f(x)={\sqrt {x}}$ koja preslikava skup ne-negativnih realnih brojeva $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ na samu sebe.

Opširnije

Kvadratni korijen prirodnog broja često je iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primjer ${\sqrt {2}}\,$ ne se može zapisati kao m/n, gdje su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko točno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je ${\sqrt {2}}\,$ iracionalan pripisuje se Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni korijen (${\sqrt {\ }}$) prvi put je upotrijebljena u 16. stoljeću. Skoro je sigurno, da je proizašlo iz prilagođenoga ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od (lat. radix) što znači „korijen”.

Argument i vrijednost

Da bi rezultat korijenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti ne-negativan broj. Postoje dvije vrijednosti za kvadratni korijen broja većeg od nule i te dvije vrijednosti su kvadratni korijen i negativni kvadratni korijen (češće obilježavani s plusom i minusom). Primjer ${\sqrt {9}}=3$ (nekad se ovo naziva glavna vrijednost korijena), ali također vrijedi i ${\sqrt {9}}=-3$ što se neki put bilježi kao ${\sqrt {9}}=\pm 3$ i time u jednom iskazu označavaju oba rezultata.

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni korijen. Zato je uveden pojam imaginarnoga i kompleksnoga broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

${\sqrt {-1}}=i$

${\sqrt {-25}}={\sqrt {-1\cdot 25}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {25}}=5i$