Lema o trozupcu

Izvor: Wikipedija

U geometriji, lema o trozupcu[1] (rus. лемма о трезубце[2]) povezuje trokutu opisanu, upisanu i pripisanu kružnicu.

Lema o trozupcu

Teorem[uredi | uredi kôd]

Neka je ABC trokut. Neka je I središte trokutu upisane kružnice. Neka je D sjecište BI (simetrala kuta ∠ABC) i opisane kružnice trokuta ABC. Lema o trozupcu kaže da je

gdje je E središte trokutu pripisane kružnice koja dira AB, BC i AC.[3][4]

Dokaz[uredi | uredi kôd]

Kutovi nad istom tetivom:

Pošto je BI simetrala kuta:

Dokažimo još da je DI = DE.

pa je ΔIAE pravokutan. Točka D je jedinstvena koja zadovoljava DA = DI pa mora još DI = DE.

Izvori[uredi | uredi kôd]

  1. Vidak, Stipe. 13. lipnja 2016. MEMO pripreme 2016 – Pripisane kružnice (PDF). Pristupljeno 21. lipnja 2017.
  2. Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка (PDF). Problem 1.2. str. 4CS1 održavanje: više imena: authors list (link) CS1 održavanje: lokacija (link)
  3. Bogomolny, Alexander. Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters. Cut-the-Knot (engleski). Pristupljeno 21. lipnja 2017..
  4. Bogomolny, Alexander. A Double Meaning of an Arc's Midpoint. Cut-the-Knot (engleski). Pristupljeno 21. lipnja 2017..