Liejeva algebra

U matematici, Liejeva algebra je vektorski prostor ${\mathfrak {g}}$ zajedno s operacijom Liejeva zagrada, antisimetričnim bilinearnim preslikavanjem ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, koje zadovoljava Jacobijev identitet.

Liejeve algebre su usko povezane s Liejevim grupama. Svakoj Liejevoj grupi može se pridružiti Liejeva algebra koja tvoru vektorski prostor koji je tangentan na Liejevu grupu u jediničnom elementu i koji opisuje lokalnu strukturu grupe.

U fizici, Liejeve grupe se pojavljuju kao grupe simetrije fizičkih sustava, a njihove Liejeve algebre (tangencijalni vektori blizu identiteta) mogu se smatrati infinitezimalnim generatorima simetrije. Stoga se Liejeve algebre i njihove reprezentacije široko koriste u fizici, posebno u kvantnoj mehanici i fizici čestica.

Definicija

Konačno-dimenzionalna realna ili kompleksna Liejeva algebra je konačno-dimenzionalni realni ili kompleksni vektorski prostor ${\mathfrak {g}}$, zajedno s mapom $[\cdot ,\cdot ]$ koje preslikava ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, tako da vrijedi:

1. $[\cdot ,\cdot ]$ je bilinearno preslikavanje
2. $[\cdot ,\cdot ]$ je asimetrično preslikavanje: $[X,Y]=-[Y,X]\ \forall \ X,Y\in {\mathfrak {g}}$
3. Jacobijev identitet vrijedi: :$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]\ =\ 0\ \forall \ X,Y,Z\in {\mathfrak {g}}.$