Liejeva grupa

Vizualna reprezentacija $\operatorname {E_{8}}$ grupe.

U matematici, Liejeva grupa je grupa koja je također i glatka mnogostrukost.

Mnogostrukost je prostor koji lokalno nalikuje euklidskom prostoru, a grupa je algebarska struktura koja se sastoji od skupa i operacije grupe, odnosno uređeni par $(G,\times )$ te mora zadovoljavati aksiome teorije grupa.

Liejeve grupe pružaju prirodni model za koncept kontinuirane simetrije. Liejeve grupe se široko koriste u mnogim dijelovima moderne matematike i fizike.

Liejeve grupe su prvi put pronađene proučavanjem matrica podgrupa $G$ sadržanih u ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ ili ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )$, opće linearne grupe, odnosno grupe od $n\times n$ invertibilnih matrica nad $\mathbb {R}$ ili $\mathbb {C}$. One se sada nazivaju klasične grupe, jer je koncept proširen daleko izvan tih izvora. Liejeve grupe su nazvane po norveškom matematičaru Sophusu Lieu (1842–1899), koji je postavio temelje teorije kontinuiranih transformacijskih grupa. Liejeva izvorna motivacija za uvođenje Lievih grupa bila je modeliranje kontinuiranih simetrija diferencijalnih jednadžbi, na sličan način na koji se konačne grupe koriste u Galoisovoj teoriji za modeliranje diskretnih simetrija algebarskih jednadžbi.

Definicija

Grupa se definira kao uređeni par $(G,\times )$ nekog skupa $G$ i binarne operacije zajedno s dodatnim svojstvima (4 aksioma teorije grupa) koja mora imati da bi se smatrala "transformacijom" u apstraktnom smislu.

Na primjer, množenje i uzimanje inverza (kako bi se omogućilo dijeljenje) ili ekvivalentno, koncept zbrajanja i oduzimanja, te asocijativnost, postojanje jediničnog elementa i zatvorenost.

Mnogostrukost je prostor koji lokalno nalikuje euklidskom prostoru.

Kombiniranjem ove dvije ideje dobiva se kontinuirana grupa gdje je množenje točaka i njihovih inverza kontinuirano. Ako su množenje i uzimanje inverza također glatki (diferencijabilni), dobiva se Liejeva grupa.

Liejeva grupa je kontinuirana grupa koja je ujedno i konačno-dimenzionalna glatka mnogostrukost $G$, odnosno operacija množenja:

$G\times G\rightarrow G$ i inverz $G\rightarrow G$ su analitičke operacije.

Primjeri

Prostor kvaterniona $\mathbb {H}$, specijalna ortogonalna grupa $\operatorname {SO} (3)$, euklidski prostor $\mathbb {R} ^{3}$ i jedinična kružnica $S^{2}$ .

Opća linearna grupa $\operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )$

Opća linearna grupa nad realnim brojevima $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ je skup $n\times n$ invertibilnih matrica, zajedno s operacijom množenja matrica. Ovaj skup zajedno s matričnim množenjem tvori grupu, jer je produkt dvaju invertibilnih matrica ponovno invertibilan, a inverz invertibilne matrice je invertibilan, a jedinična matrica je jedinični element grupe. Grupa je tako nazvana jer su stupci i retci invertibilne matrice linearno nezavisni.

Opća linearna grupa nad kompleksnim brojevima $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ je grupa svih $n\times n$ invertabilnih matrica s kompleksnim vrijednostima.

Unitarna grupa $\operatorname {U} (n)$

Skup svih kompleksnih brojeva koji imaju apsolutnu vrijednost, zajedno uz operaciju kompleksnog množenja tvore Liejevu grupu kruga $\operatorname {\mathbb {T} }$.

Unitarna grupa $\operatorname {U} (n)$ je podgrupa opće linearne grupe $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$. Unitarna grupa je grupa svih $n\times n$ unitarnih matrica s operacijom matričnog množenja.

Unitarna grupa je trostruki presjek ortogonalne, linearne kompleksne i simplektičke grupe:

$\operatorname {U} (n)=\operatorname {O} (2n)\cap \operatorname {GL} (n,\mathbf {C} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} ).$

Unitarna grupa dimenzije $1$ je izomorfna sa slijedećim grupama:

$\operatorname {U} (1)\cong \mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).$

Specijalna unitarna grupa $\operatorname {SU} (n)$

Specijalna unitarna grupa $\operatorname {SU} (n)$ je podrupa unitarne grupe $\operatorname {U} (n)$, odnosno

$\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).$

Specijalna unitarna grupa je Liejeva grupa svih $n\times n$ matrica koje imaju determinantu 1, uz operaciju matričnog množenja.

Ortogonalna grupa $\operatorname {O} (n,\mathbb {F} )$

Ortogonalna grupa $\operatorname {O} (n,\mathbb {F} )$ je grupa svih $n\times n$ ortogonalnih matrica uz operaciju množenja matrica. Ortogonalna grupa je također podgrupa opće linearne grupe, odnosno:

$\operatorname {O} (n,\mathbb {F} )=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$

Specijalna ortogonalna grupa $\operatorname {SO} (n)$

Specijalna ortogonalna grupa $\operatorname {SO} (n)$ je podgrupa ortogonalne grupe $\operatorname {O} (n)$ i predstavlja grupu svih ortogonalnih matrica koje imaju determinantu jednaku jedinici.

$\operatorname {SO} (n)=\{\,A\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )\mid A^{T}A=I{\text{,}}\det A=1\,\}.$

Simplektička grupa $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$

Simplektička grupa $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {F} )$ je klasična grupa definirana kao skup linearnih transformacija $2n$-dimenzionalnog vektorskog prostora nad poljem $\mathbb {F}$ koje čuvaju nedegeneriranu asimetričnu bilinearnu formu. Takav vektorski prostor naziva se simplektički vektorski prostor.

Ako je bilinearna forma predstavljen matricom $\Omega$, tada:

$\operatorname {Sp} (2n,F)=\{M\in M_{2n\times 2n}(F):M^{\mathrm {T} }\Omega M=\Omega \},$

gdje je M^T transponirana matrica $M$. Često se $\Omega$ definira kao

$\Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}},$

gdje je $I_{n}$ jedinična matrica.

Korespondencija Liejeve grupe i Liejeve algebre

Tangentna ravnina na sferu u točki $x$. Ukoliko je $x$ identitet Liejeve grupe, tangentna ravnina tvorila bi Liejevu algebru.

Svakoj Lievoj grupi možemo pridružiti Liejevu algebru koja tvoru vektorski prostor koji tangentan na Liejevu grupu u jediničnom elementu i koji opisuje lokalnu strukturu grupe.

Elemente Liejeve algebre možemo smatrati elementima grupe koji su "infinitezimalno blizu" jediničnom elementu, a Liejeva zagrada Liejeve algebre povezana je s komutatorom dva takva infinitezimalna elementa.

Korespondencija između Lievih grupa i Lievih algebri uključuje sljedeća tri glavna rezultata:

• Liev treći teorem: Za svaku konačno-dimenzionalnu realnu Liejevu algebru ${\mathfrak {g}}$ postoji povezana Liejeva grupa $G$ čija je Liejeva algebra izomorfna s ${\mathfrak {g}}$.
• Teorem o homomorfizmima: Ako je ${\displaystyle \phi$ :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)} homomorfizam Lievih algebri i ako je $G$ jednostavno povezana, tada postoji (jedinstveni) homomorfizam Liejeve grupe $f:G\to H$ takav da je $\phi =df$.
• Teorem o podgrupama-podalgebrama: Ako je $G$ Liejeva grupa s Lievom algebrom ${\mathfrak {g}}$ i ${\mathfrak {h}}$ je Liejeva podalgebra od ${\mathfrak {g}}$, tada postoji jedinstveno povezana Liejeva podgrupa $H$ od $G$ s Lievom algebrom ${\mathfrak {h}}$.

Kontinuirane simetrije u fizici

Noetherin teorem govori kako ukoliko je sustav invarijantan na $n$-parametarsku kontinuiranu grupu transformacija (Liejevu grupu) onda postoji $n$ invarijanti gibanja, odnosno zakona očuvanja.

Svaka kontinuirana simetrija djelovanja generira konzerviranu veličinu (invarijantu gibanja) prema Noetherovom teoremu.

Neki od primjera u fizici su:

${\begin{aligned}{\text{Vremenska translacija:}}&\quad t\mapsto t+\epsilon ,&G&=\mathbb {R} ,&\Rightarrow &\quad H={\text{konst.}}\\{\text{Prostorna translacija:}}&\quad \mathbf {r} \mapsto \mathbf {r} +{\boldsymbol {\epsilon }},&G&=\mathbb {R} ^{3},&\Rightarrow &\quad \mathbf {p} ={\text{konst.}}\\{\text{Rotacija:}}&\quad \mathbf {r} \mapsto R\mathbf {r} ,\ R\in SO(3),&G&=SO(3),&\Rightarrow &\quad \mathbf {L} ={\text{konst.}}\end{aligned}}$

Ovdje je $H$ Hamiltonian (energija), $\mathbf {p}$ linearna količina gibanja, $\mathbf {L}$ kutna količina gibanja, a $G$ je odgovarajuća Liejeva grupa simetrije koja generira konzerviranu veličinu.