Linearna funkcija

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Funkcija je ovisnost među dvjema veličinama koje najčešće označavamo s i a zapisujemo ili je funkcija od Oznaku uveo je Leonhard Euler.

Veličinu nazivamo ulazna, a izlazna vrijednost. Napomenimo još da funkcija može biti zadana formulom, riječima, tablicom, grafom i dijagramom.

Ovdje ćemo se baviti linearnom funkcijom, tj. funkcijom oblika gdje su realni brojevi. Broj naziva se koeficijentom smjera, a broj zovemo odsječkom na osi

Ako je linearna funkcija raste, a ako je funkcija pada. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Uzmimo Tada je (jer je ), tj. što je i trebalo pokazati. Analogno se dokazuje za

Nagib[uredi | uredi kôd]

Neka su zadane dvije točke u Kartezijevom koordinatnom sustavu, Tada je nagib funkcije na intervalu određen kvocijentom Kako funkciju gledamo slijeva nadesno, kažemo da vrijednost funkcije na krajnjim točkama toga intervala raste (kod ove funkcije rast/pad je konstantan) ako je nagib pozitivan, a ako je negativan kažemo da pada.

Konstantan nagib najvažnije je svojstvo linearne funkcije. Broj naziva se koeficijenom smjera ili nagibom pravca koji je graf linearne funkcije. Posebno, gdje je

Dokažimo da je njezin nagib konstantan, tj. da je njezin graf pravac.

Pretpostavimo da imamo f-ju Onda imamo točke (uz ). Tada je nagib na intervalu jednak i tvrdnja je dokazana.

Isto tako je funkcija pravac. Ako je graf se uzdiže za jediničnih vektora (jer je ), a ako je graf se spušta za jediničnih vektora (jer je

Slično, ako je cijeli se graf pomiče za udesno ako je ), a ulijevo za ako je

Gornje se tvrdnje mogu dokazati i transformacijama koordinatnih osi.

Paralelnost i okomitost pravaca[uredi | uredi kôd]

Paralenost. Neka imamo Očito je da su ta dva pravca jednaka ako i samo ako je Analogno za bilo koju linearnu funkciju (zbog gore navedenih transformacija). Dakle, grafovi dviju funkcija su pravci koji su paralelni ako i samo ako vrijedi

Okomitost. Pretpostavimo da su pravci . Uočimo pravokutni trokut dan vrhovima I sada, rotiranjem svih () takvih trokuta za dobili smo ovaj drugi pravac. Dakle, vrijedi Opet, zbog gornjih transformacija, dva su pravca okomita ako i samo ako je


Napomenimo da je veza među transformacija grafa te paralelnosti i okomitosti pravaca sljedeća: vrijedi ako i samo je gdje su pravci dobiveni redom translacijom pravaca Analogno za

Kut između dvaju pravaca[uredi | uredi kôd]

Lako se dokaže da za kut između neka dva pravca vrijedi gdje su redom nagibi pravaca

Zadanost i jednadžba pravca kroz dvije točke[uredi | uredi kôd]

Linearna funkcija može biti zadana parametrima nagibom i nekom točkom ili dvjema točkama.

Pretpostavimo opet da imamo pravac i dvije točke za koje je Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dobivamo što pišemo kao [1]


Eksplicitni i implicitni oblik

Valja spomenuti da jednadžba pravca može biti zadana u eksplicitnom ili implicitnom obliku. Prvi oblik je bilo koja jednadžba oblika a drugi općenito jednadžba


Segmenti oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati u ovome obliku: Ovaj se oblik jednadžbe pravca naziva segmentnim jer za dobivamo odsječak (segment) na osi i obrnuto. Zbog toga je površina ispod ili iznad grafa pravca omeđena koordinatnim osima jednaka [2]

Nultočka linearne funkcije[uredi | uredi kôd]

Općenito, nultočka je svaka vrijednost neovisne varijable za koju je

Dakle, nultočka linearne funkcije jednaka je

Izvori[uredi | uredi kôd]

  1. Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 1, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.
  2. Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 3, udžbenik za gimnazije i tehničke škole, Element, Zagreb, 2014.