Matematička formulacija kvantne mehanike

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje
Kvantna fizika
Schrödinger cat.png
Uvod u...

Matematička formulacija...


Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s normom, gdje je prostor kvadratno integrabilnih funkcija.

Matematički problemi u kvantnoj mehanici[uredi VE | uredi]

U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se sa tri primjera koja ukazuju na te probleme.

Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednosti[uredi VE | uredi]

Ukoliko želimo pronaći svojstvene vrijednosti operatora : rješavamo iduću jednadžbu:

 

gdje je svojstvena vrijednost danog operatora, a svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da gornja jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ukoliko je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješavamo iduću jednadžbu:

Nju možemo rješiti ukoliko je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za

Ovaj problem rješavamo na idući način: Prvo početnu jednadžbu zapišimo u idućem obliku: Ukoliko izraz nije invertibilan, kažemo da pripada spektru operatora kojeg označavamo s . U protivnom kažemo da pripada rezolventnom skupu .

Primjer 2: Norma operatora[uredi VE | uredi]

Normu operatora definiramo:

  

gdje je H Hilbertov prostor. Ukoliko je norma operatora konačna, kažemo da je operator ograničen, a ako je , tada kažemo da je operator neograničen. U tom slučaju operator ne možemo definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već najčešće zahtjevamo da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja:

Neka je Vidimo da je kvadratno integrabilna funkcija, no, kada na tu funkciju djelujemo operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.


Primjer 3: Adjungirani i samoadjungirani operator[uredi VE | uredi]

Ukoliko je dan ograničeni operator definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s gdje je označava skalarni produkt. Ako je , tada kažemo da je operator samoadjungirani operator. No, ukoliko operator neograničen, tada se može dogoditi da se domene operatora i adjungiranog operatora ne podudaraju. Ovaj slučaj bit će pojašnjen u idućim poglavljima.

Kada postoji kvantna mehanika?[uredi VE | uredi]

Promotrimo iduću komutacijsku relaciju:

  

gdje je operator momenta, operator položaja, te reducirana Planckova konstanta. Ova relacija se još naziva Born-Jordanova relacija, te iz nje možemo iščitati kada postoji kvantna mehanika ovisno o definiciji operatora i . Naime, ukoliko je , tada možemo reći da kvantna mehanika ne postoji zbog Heisenbergovih relacija neodređenosti. U ovom dijelu ćemo promotriti tri slučaja za operatore i .

1) Uzmimo da su p i q nxn matrice , pri čemu će n prirodni broj, te pretpostavimo da Born-Jordanova relacija vrijedi. Uzimajući trag početne relacije lako se vidi da konstanta mora biti jednaka nuli jer je n proizvoljan. Dakle, i ne mogu biti matrice ako želimo da vrijede zakoni kvantne mehanike.

2) Sada pretpostavimo da su i opservable definirane svuda na Hilbertovom prostoru, te da zadovoljavaju početnu relaciju i da jedna od njih ima svojstveni vektor. Ako su p i q opservable, to znači da su samo-adjungirani operatori jer im spektar mora biti realan. Nadalje operatori i su definirani svuda na Hilbertovom prostoru, to znači da su p i q ograničeni operatori prema Hellinger-Toeplitz teoremu. Uzimajući sve u obzir, može se pokazati da je i u ovom slučaju reducirana Planckova konstanta jednaka nuli.

3) Sada pogledajmo slučaj u kojemu su operatori i definirani na gustom potprostoru Hilbertovog prostora. Naime, ukoliko je barem jedan operator neograničen, pročetna relacija je zadovoljena. Čitatelj može vrlo lako dokazati ovu tvrdnju korištenjem iduće relacije: Ova relacija se može dokazati uz pomoć matematičke indukcije.


Izvori[uredi VE | uredi]

[1] Reed, Michael and Simon, Barry: Methods of Mathematical Physics, Volume 1: Functional Analysis. Academic Press, 1980. See Section III.5.

[2] Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society.