Matrica (matematika)

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži

U matematici, matrica je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu zbrajati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacije[uredi VE | uredi]

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše kako bi se definirala m × n matrica A čiji su članovi ai,j za sve 1 ≤ im i 1 ≤ jn. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ im − 1 i 0 ≤ jn − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Primjer[uredi VE | uredi]

Matrica

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Zbrajanje i množenje matrica[uredi VE | uredi]

Zbrajanje[uredi VE | uredi]

Zbrajanje matrica je definirano samo za matrice istih dimenzija. Ako su dane matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbroj A + B je m-sa-n matrica, izračunata zbrajanjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primjer:

Množenje skalarom[uredi VE | uredi]

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primjer:

Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim elementima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Množenje matrica[uredi VE | uredi]

Množenje dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Za takve dvije matrice se kaže da su ulančanih dimenzija. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov umnožak AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dan formulom:

za svaki par i i j.

Na primjer:

Množenje matrica ima sljedeća svojstva:

  • (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
  • (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
  • C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je ABBA.

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Linearne transformacije, rang, transponirana matrica[uredi VE | uredi]

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : RnRm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : RmRk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje RmRn, i predstavljeno je upravo matricom BA.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (vidi dualni prostor).

Vrijedi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.

Vidjeti također[uredi VE | uredi]