Metoda Monte Carlo

Metoda Monte Carlo (ili Monte Carlo eksperimenti) predstavlja široku skupinu računalnih algoritama, koji se temelje na ponavljanju slučajnog uzorkovanja za dobivanje numeričkih rezultata. Njihova osnovna ideja je da se uz pomoć slučajnih događaja rješavaju problemi koji mogu biti deterministički. Oni se često koriste pri rješavanju fizičkih i matematičkih problema, te su najkorisniji kada je teško ili nemoguće koristiti druge pristupe. Metode Monte Carlo primjenjuju se uglavnom u tri različite klase problema: optimizaciji, numeričkoj integraciji i generiranju izvoda iz raspodjele vjerojatnosti.

U medicinskoj fizici primjenjuju se za teorijsku provjeru eksperimentalnih podataka, a najpoznatiji softverski paketi koji računaju Metodom Monte Carlo su Geant (Gate), MCNP, BEAMrc, Fluka...

Pregled

Monte Carlo primijenjena na izračun vrijednosti broja $\pi$.

Metode Monte Carlo se razlikuju, ali obično slijede određeni obrazac:

1. Definiranje domene mogućih ulaza
   (Odabrati relevantne varijable i njihove moguće raspone, odnosno imati poznatu raspodjelu vjerojatnosti $P(x)$ nad domenom)

1. Izvlačenje ulaza slučajnim odabirom iz neke raspodjele vjerojatnosti nad domenom
   (Izvlačenje neovisnih slučajnih uzorka $x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}$ iz te raspodjele, uniformna raspodjela, mogu se koristiti i druge)

1. Izračun izlaza
   (Za svaki uzorak izračunati determinističku funkciju $f(x)$.)

1. Agregiranje rezultata
   (Rezultati se kombiniraju (prosjek, zbroj itd.) kako bi se dobila aproksimacija tražene veličine (točnost raste s većim brojem uzoraka, prema zakonu velikih brojeva).)

Povijest

Tridesetih godina 20. stoljeća, Enrico Fermi je prvi put eksperimentirao s Metodom Monte Carlo proučavajući neutronsku difuziju, ali taj rad nije objavio.

Kasnije, veliki napredak u razvoju metoda odvio se u Los Alamos državnom laboratoriju Sjedinjenih Američkih Država nedugo nakon Drugog svjetskog rata. Prvo je elektroničko računalo u SAD-u upravo bilo dovršeno, i znanstvenici u Los Alamosu su razmatrali kako da ga najbolje iskoriste za razvoj termonuklearnog oružja (hidrogenske bombe). Kasne 1946. Stanislav Ulam je predložio korištenje slučajnog uzorkovanja za simuliranje putanja neutrona (Metoda Monte Carlo koristeći Makrkovljeve lance), a John von Neumann je razvio detaljan prijedlog rane 1947.

Ovo je dovelo do simulacija manjih razmjera koje su ipak bile neophodno važne za uspješno dovršenje projekta. Metropolis i Ulam su 1949. objavili rad u kojem su iznijeli svoje ideje, čime je stvorena iskra koja je potpalila velika istraživanja tijekom 1950-ih godina.

Zbog toga što je bio tajan, von Neumannov i Ulamovom projek trebao je kodno ime. Naziv "Monte-Carlo metoda" svoje ime vuče od grada u državici Monako, slavnom po svojim kockarnicama (što je prihvaćeno na prijedlog Nicka Metropolisa, jednog od pionira Metode Monte-Carlo).

Primjene

U ekonomiji se rabe ze proračunavanje poslovnog rizika, promjena vrijednosti investicija, pri strateškom planiranju i slično. U kvantoj fizici za procjenu valnih funkcija, a time i brojnih fizikalnih svojstava kao što su energija, tlak, suprafluidnost, napetost površine, itd. U fizici se upotrebljavaju razni algoritmi koji koriste simulacije Monte Carlo kao što je difuzijski Monte Carlo (DMC), varijacijski Monte Carlo (VMC), Monte Carlo s integralom po putanjama (PIMC) i sl. U fizici elementarnih čestica koristi se za gotovo savršeno predviđanje raspada elementarnih čestica nakon sudara.