Pitagorin poučak

Izvor: Wikipedija
Skoči na: orijentacija, traži
Prikaz Pitagorinog poučka: Kvadrat sa stranicom hipotenuze trokuta (c) površinom je jednak zbroju kvadrata sa stranicama trokuta (a, b)

Pitagorin poučak jedan je od osnovnih teorema geometrije koji glasi:

Površina kvadrata nad hipotenuzom pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata nad katetama.

Matematička notacija[uredi VE | uredi]

a^2 + b^2 = c^2\,

Odnosno, duljina hipotenuze c uz poznavanje duljina kateta iznosi:

 c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,

Pitagorejcima "kvadrat" nije označavao množenje duljine stranice sa samom sobom, već je označavao geometrijski lik kvadrat konstruiran iznad stranice trokuta. Činjenica da je zbroj dva kvadrata jednak trećemu, značila je da se dva kvadrata mogu izrezati na likove od kojih se može složiti jedan kvadrat koji je sukladan kvadratu nad hipotenuzom.

Dokazi[uredi VE | uredi]

Vizualni dokaz. Kliknite za animaciju

Na slici desno vizualni je dokaz Pitagorina poučka, a ispod su algebarski dokazi.

Dokaz pomoću sličnosti[uredi VE | uredi]

Pythagoras similar triangles simplified.svg

Neka je trokut ABC pravokutan s pravim kutom u vrhu C. Neka je s H označimo sjecište visine iz vrha C na AB s dužinom AB. Prema poučku K-K o sličnosti trokuta slijedi da su trokuti ABC, AHC i BCH slični. Iz sličnosti trokuta slijede razmjeri duljina stranica:

\frac{|BC|}{|AB|} = \frac{|BH|}{|BC|} \;\; i \;\; \frac{|AC|}{|AB|} = \frac{|AH|}{|AC|}

Tranformacijom razmjera slijedi:

|BC|^2 = |AB| \cdot |BH| \;\; i \;\; |AC|^2 = |AB| \cdot |AH|


Zbrajanjem jednakosti slijedi:

|BC|^2 + |AC|^2 = |AB| \cdot |BH| + |AB| \cdot |AH| = |AB| \cdot (|BH| + |AH|) = |AB|^2

To jest:

|BC|^2 + |AC|^2 = |AB|^2

te je time dokaz završen.

Euklidov dokaz[uredi VE | uredi]

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg
Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem3.svg

Neka je ACB pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu A, uz oznake kao na slici. Nad stranicama trokuta ACB nacrtani su kvadrati CBDE, BAGF i ACIH. Slijedi |AB| = |FB| te |BC| = |BD|. Kroz A povucimo pravac paralelan s BD. Spojimo C i F te A i D. Slijedi ∠ABD = 90° + ∠ABC = ∠FBC. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta, slijedi da su trokuti FBC i ABD sukladni (v. sliku).

Površina trokuta BDK upola je manja od površine pravokutnika BDLK. Površina trokuta BDK i površina trokuta BDA jednake su jer imaju istu osnovicu te istu duljinu visine. Slijedi da je površina trokuta BDA polovina površine pravokutnika BDLK. Analogno vrijedi i PBAGF = 2 · PFBC =
= 2 · PBDA = PBDLK.

Pošto duljina stranice kvadrata BAGF iznosi |AB|, površina pravokutnika BDLK iznosi |AB|2. Slično dokazujemo da je PCKLE = PACIH = |AC|2. Slijedi |AB|2 + |AC|2 = |BD| · |BK| + |KL| · |KC| =
= |BD| · |BK| + |BD| · |KC| = |BD| · (|BK| + |KC|) = |BD| · |BC| = |BC|2 te je time tvrdnja dokazana.

Primjena[uredi VE | uredi]

Kvadrat.

Kvadrat[uredi VE | uredi]

Stranice kvadrata zatvaraju kut od 90°. Neka je zadan kvadrat ABCD. Primijenimo Pitagorin poučak na trokut BCD:

Pravokutnik.

a^2 + a^2 = d^2

te nakon sređivanja:

d = a\sqrt{2}

Pravokutnik[uredi VE | uredi]

Stranice pravokutnika također zatvaraju kut od 90°. Neka je zadan pravokutnik ABCD. Primjenom Pitagorina poučka na trokut ABC:

Jednakokračan pravokutan trokut pola je kvadrata

a^2 + b^2 = d^2

Jednakokračan trokut[uredi VE | uredi]

Neka je ABC jednakokračan trokut s osnovicom AB. Neka okomica iz vrha C na AB siječe dužinu AB u točki D. Primijenimo Pitagorin poučak na trokut ADC:

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + v^2 = b^2

gdje je a duljina osnovice, v je duljina visine, a b duljina kraka trokuta.

Jednakostraničan trokut

Jednakostraničan trokut[uredi VE | uredi]

Uz oznake kao na slici, primijenimo Pitagorin poučak na trokut ABD:

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + v^2 = a^2

te nakon sređivanja slijedi:

v = \frac{a\sqrt{3}}{2}



Romb. Na crveni trokut primijenili smo Pitagorin poučak.

Romb[uredi VE | uredi]

\left(\frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 = a^2

gdje je a duljina stranice, a e i f su duljine dijagonala romba.

Jednakokračan trapez[uredi VE | uredi]

Isosceles trapezoid.jpg

\left(\frac{a-c}{2}\right)^2 + v^2 = b^2

gdje su a i c duljine osnovica, b je duljina krakova, a v je duljina visine trapeza.

Obrat Pitagorina poučka[uredi VE | uredi]

Vrijedi i obrat ovoga poučka:

Ako za duljine stranica a, b, c nekog trokuta vrijedi c2 = a2 + b2, tada je taj trokut pravokutan.[1]

Pitagorine trojke[uredi VE | uredi]

Pitagorini brojevi ili Pitagorina trojka je uređena trojka prirodnih brojeva x, y, z koji zadovoljavaju diofantsku jednadžbu x2 + y2 = z2. Sva rješenja te jednadžbe, tj. sve Pitagorine trojke dane su sa:[2]

x = m^2 - n^2

y = 2mn

z = m^2 + n^2

gdje su m i n proizvoljni prirodni brojevi. Na primjer, za m = 2, n = 1, dobijemo Pitagorinu trojku (3, 4, 5).

U primitivnim Pitagorinim trojkama barem su dva broja relativno prosta. Postoji ih 16 u kojima je c ≤ 100:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)

U fraktalima[uredi VE | uredi]

Pitagorino stablo.

Pitagorino stablo je fraktal u ravnini. 1942. ga je izumio Albert E. Bosman, nizozemski profesor iz matematike.[3] Ono možemo smjestiti u pravokutnik širine 6a i visine 4a, gdje je a duljina stranice najvećeg kvadrata u stablu.

Konstrukcija Pitagorina stabla
Konstrukcija Pitagorina  stabla, stupanj 0
Stupanj 1
Stupanj 2
Stupanj 3
Stupanj 0 Stupanj 1 Stupanj 2 Stupanj 3

Pitagorino stablo konstruiramo tako da prvo nacrtamo kvadrat duljine stranice a. Zatim nad jednom njegovom stranicom konstruiramo jednakokračan pravokutan trokut kojemu je pravi kut nasuprot stranici kvadrata. Nad katetama pravokutnog trokuta nacrtamo dva kvadrata. Ovaj korak ponavljamo itd.

U svakom koraku docrtavamo 2n - 1 trokuta i 2n kvadrata, gdje je n stupanj Pitagorina stabla. Površina svakog kvadrata iznosi 2-n. Zbroj površina svih kvadrata iznosi 1. Površina svakog trokuta iznosi 2-n - 2. Zbroj površina svih trokuta iznosi \tfrac{1}{4}.

Povijest[uredi VE | uredi]

Iako je poučak nazvan po Pitagori, bio je poznat još i starim Babiloncima oko 1800 godina prije Krista, te Kinezima oko 1100 godina prije Krista.

Izvori[uredi VE | uredi]