Pitagorine trojke

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Pitagorina trojka je naziv za uređenu trojku prirodnih brojeva gdje su i duljine kateta, a duljina hipotenuze nekog pravokutnog trokuta. Prema Pitagorinom poučku je .[1]

Ako su relativno prosti, onda kažemo da je primitivna Pitagorina trojka. Takav trokut sukladno tome nazivljemo primitivni Pitagorin trokut. Uočimo da iz slijedi da je .

Poznato je da je francuski matematičar i pravnik Pierre de Fermat u svojim radovima u vezi Fermatovog posljednjeg teorema koristio tzv. metodu beskonačnog spusta. U tim se radovima bavio i Pitagorinim trojkama jer su one zapravo rješenje Fermatove jednadžbe za slučaj n = 2.

Euklidova formula[uredi | uredi kôd]

Euklidova formula je teorem koji daje jednostavnu formulu kojom se mogu generirati sve Pitagorine trojke. Teorem kaže da su sve Pitagorine trojke u kojima je paran, dane formulama , gdje je i relativno prosti prirodni brojevi različite parnosti.

Dokaz. Pretpostavimo da imamo primitivnu Pitagorinu trojku sa stranicama . Tada je i vrijedi (1). (Trebaju biti sva tri međusobno relativno prosta jer da je npr. iz (1) slijedilo bi da .) Jasno je da ne mogu sva tri broja biti neparna, a očito ne može biti više od jednog parnog jer bi tada ne bi bili relativno prosti. Dakle, jedan od mora biti paran. Dokazat ćemo da je neparan. Naime, kada bi bio paran, tada bi trebali biti neparni. No, onda bi iz (1) slijedilo da je lijeva strana jednakosti daje ostatak 2, a desna ostatak 0 pri dijeljenju s 4, što je kontradikcija. Dakle, je neparan te su različite parnosti.

Sada bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je paran. Zapišimo (1) u obliku (2), gdje su oba parni, jer su očito iste parnosti, a na lijevoj strani je paran broj. Dakle, postoje takvi da . Uvrštavanjem u (2) dobije se . Pokažimo sada da su također relativno prosti. Kako dijeli oba slijedi pa je . Odmah se vidi da, zbog toga što je prema Osnovnom stavku aritmetike slijedi da su oba potpuni kvadrati pa postoje takvi da je . Kako je slijedi da su i relativno prosti te odovuda slijedi . Zbog toga što su oba neparni jasno je da su različite parnosti. Iz (1) dobivamo da je

Valjda još dokazati da je za bilo koja dva relativno prosta prirodna broja trojka zapravo primitivna Pitagorina trojka. Očito je da vrijedi, dakle treba još samo pokazati da je . Pretpostavimo da postoji takav da . Kako je neparan vrijedi pa mora dijeliti točno jedan od ; neka BSO . Tada pa iz čega je , što je kontradikcija.[2]

Ovime smo pokazali valjanost Euklidove formule, odnosno da su sve Pitagorine trojke dane identitetom na skupu prirodnih brojeva.

Povezanost s kompleksnim brojevima[uredi | uredi kôd]

Neka je . Tada vrijedi .

Stavimo pa ćemo imati:

I sada iz jednakosti za svaki dobijemo jednu Pitagorinu trojku brojeva.[3]

Napomena o ekvivalenciji[uredi | uredi kôd]

Samo na temelju definicije Pitagorine trojke nije očito da će rješavanje jednadžbe u skupu prirodnih brojeva biti potpuno ekvivalentno traženju Pitagorinih trojki.

Naime, nije otklonjena mogućnost da ako je trojka za rješenje jednadžbe (1), da uistinu postoji pravokutan trokut sa stranicama .

Da bismo dokazali da za svaku trojku koja je rješenje jednadžbe (1) postoji takav pravokutan trokut dovoljno je pokazati da za bilo koju takvu trojku vrijedi nejednakost trokuta, tj. da mora biti jer će tada biti moguće konstruirati pravokutan trokut sa stranicama .

Treba uočiti da je jednadžba (1) ekvivalentna s iz čega slijedi (jer je ) pa je očito Analogno se pokazuju druge dvije nejednakosti.

Ovime je ekvivalencija dokazana, odnosno svaka trojka prirodnih brojeva koja zadovoljava je ujedino i jedna Pitagorina trojka.

Izvori[uredi | uredi kôd]

  1. Andrej Dujella, Teorija brojeva, Školska knjiga, 2019.
  2. https://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=346491
  3. Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 2, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazija i tehničkih škola, Element, 2014.