Popis trigonometrijskih jednakosti

Izvor: Wikipedija
Prijeđi na navigaciju Prijeđi na pretraživanje

Trigonometrijske jednakosti pokazuju poveznice između pojedinih trigonometrijskih funkcija. Ti izrazi su istiniti za svaku odabranu vrijednost određene varijable (kuta ili nekog drugog broja). Kako su trigonometrijske funkcije međusobno povezane pomoću vrijednosti jedne, moguće je izraziti neku drugu funkciju. Jednakosti se koriste za pojednostavljenje izraza koji uključuju trigonometrijske funkcije.

Nazivlje[uredi | uredi kôd]

Kutovi[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Kut
Nazivi kutova se daju prema slovima grčkog alfabeta kao što su alfa (α), beta (β), gama (γ), delta (δ) i theta (θ). Mjerne jedinice za mjerenje kutova su stupnjevi, radijani i gradi:

1 puni krug  = 360 stupnjeva = 2 radijana  =  400 gradi.

Sljedeća tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za određene veličine kuteva:

Stupnjevi 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radijani
Gradi 33⅓ 66⅔ 133⅓ 166⅔ 233⅓ 266⅔ 333⅓ 366⅔
Stupnjevi 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radijani
Gradi 50 100 150 200 250 300 350 400

Kutovi se u trigonometriji najčešće izražavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom ° se manje koriste, a gradi izrazito rijetko.

Trigonometrijske funkcije[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Trigonometrijske funkcije
Primarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se označava sa sinθ, a kosinus sa cosθ pri čemu je θ naziv kuta.

Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:

S druge strane, imamo i recipročne funkcije pri čemu je kosinusu recipročan sekans (sec), sinusu kosekans(csc, cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):

Inverzne funkcije[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tome imamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji , pri čemu vrijedi da je

i

U sljedećoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice:

Trigonometrijska funkcija Sinus Kosinus Tangens Sekans Kosekans Kotangens
Kratica
Inverzna trigonometrijska funkcija Arkus sinus Arkus kosinus Arkus tangens Arkus sekans Arkus kosekans Arkus kotangens
Kratica

Pitagorina trigonometrijska jednakost[uredi | uredi kôd]

Pitagorina trigonometrijska jednakost je jedna od osnovnih trigonometrijskih jednakosti i prikazuje odnos između sinusa i kosinusa:

gdje cos2 θ znači (cos(θ))2 i sin2 θ znači (sin(θ))2.

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog poučka i proizilazi iz jednakosti koja vrijedi za jediničnu kružnicu. Ova jednadžba može biti rješena za sinus i za kosinus:

Povezane jednakosti[uredi | uredi kôd]

Podijelivši Pitagorinu jednakost s cos2 θ ili sa sin2 θ dobivamo sljedeće dvije jednakosti:

Koristeći navedene jednakosti te omjere koji su korišteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvesti trigonometrijske jednakosti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge:

Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomoću druge trigonometrijske funkcije[1]
in terms of

Ostale funkcije korištene u prošlosti[uredi | uredi kôd]

Sve trigonometrijske funkcije kuta θ mogu biti geometrijski konstruirane s obzirom na jediničnu kružnicu sa središtem u  O. Pojedine se višse ne koriste.

Pojedine trigonometrijske fukcije više nisu u uporabi. Versinus, koversinus, haversinus i eksekans su se koristile pri navigaciji, a haversinusna formula se koristila za računanje udaljenosti dviju točaka na sferi.

Ime Kratica Vrijednost[2]
Versinus

Verkosinus
Koversinus
Koverkosinus
Haversinus
Haverkosinus
Hakoversinus
Hakoverkosinus
Eksekans
Ekskosekans
Tetiva

Simetrija, pomak i periodičnost[uredi | uredi kôd]

Proučavajući jediničnu kružnicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske kružnice kao što su simetrija, razni pomaci i periodičnost funkcija. Formule u sljedeće dvije tablice se često nazivaju formule redukcije.

Simetrija[uredi | uredi kôd]

Kada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za određeni kut (npr. π,π/2) rezultat često bude neka druga trigonometrijska funkcija.

Odbitak za [3] Odbitak za
[4]
Odbitak za

Pomaci i periodičnost[uredi | uredi kôd]

Pomicanjem funkcije za određeni kut također se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija koja rezultat prikaže jednostavnije. To možemo vidjeti u primjerima pomaka za π/2, π i 2π radijana. S obzirom da su trigonomterijeske funkcije periodične, ovisno o funkciji za π (tangens i kotangens funkcija) ili 2π (sinus i kosinus funkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.

Pomak za π/2 Pomak za π
Period for tan and cot[5]
Pomak za 2π
Period for sin, cos, csc and sec[6]

Zbroj i razlika kutova[uredi | uredi kôd]

Ove trigonometrijske jednakosti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematičar Abū al-Wafā' Būzjānī u 10. stoljeću. Eulerova formula može pomoći pri dokazivanju ovih jednakosti.

Sinus [7]
Kosinus [8]
Tangens [9]
Arkus sinus [10]
Arkus kosinus [11]
Arkus tangens [12]

Matrični oblik[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Množenje matrica
Trigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.

Sinus i kosinus zbroja beskonačno mnogo veličina[uredi | uredi kôd]

Tangens zbroja konačno mnogo veličina[uredi | uredi kôd]

Neka je (za k ∈ {0, ..., n}) k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma pri čemu je

za i ∈ {0, ..., n} pa slijedi

Tada vrijedi da je

u ovisnosti o broju n.

Na primjer:

i tako dalje. Navedena jednakost se može dokazati matematičkom indukcijom.[13]

Sekans i kosekans zbroja konačno mnogo veličina[uredi | uredi kôd]

gdje je k-ti stupanj osnovnog simetričnog polinoma za n varijabla xi = tan θi, i = 1, ..., n, a broj veličina u nazivniku ovisi o  n.

Na primjer,

Jednakosti za višestruke kutove[uredi | uredi kôd]

Tn je n-ti Čebiševljev polinom   
Sn je n-ti polinom širine
De Moivreova formula, je imaginarna jedinica     [14]

Trigonomterijske jednakosti dvostrukih, trostrukih i polovičnih kutova[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Formula tangensa polovičnih kutova

Formule dvostrukog kuta[15]




Formule trostrukog kuta




Formule polovičnog kuta[16]








Sinus, kosinus i tangens višestrukih kutova[uredi | uredi kôd]

Čebiševljeva metoda[uredi | uredi kôd]

Čebiševljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaženje formula n-tih višestrukih kutova poznavajući (n − 1)-te i (n − 2)-te formule.[17]

gdje je H/K = tan(n − 1)x.

Tangens prosjeka[uredi | uredi kôd]

Ako su α ili β jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovičnog kuta.

Vièteov beskonačni produkt[uredi | uredi kôd]

Jednakosti potenciranih trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi kôd]

Sinus Kosinus Druge

Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov poučak i binomni poučak.

Kosinus Sinus

Formule pretvorbi umnoška u zbroj i zbroja u umnožak[uredi | uredi kôd]

Umnožak u zbroj[18]
Zbroj u umnožak[19]

Druge povezane jednakosti[uredi | uredi kôd]

Ako su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi

odnosno

Hermiteova kotangensova jednakost[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Hermiteova kotangensova jednakost

Charles Hermite je pokazao da vrijedi određena jednakost[20] gdje su varijable a1, ..., an kompleksni brojevi. Neka je

te u slučaju kada je A1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak  1. Općenito se dobiva sljedeća vrijednost:

U najjednostavnijem slučaju za n = 2 vrijedi:

Ptolemejev teorem[uredi | uredi kôd]

Ove jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.

Linearne kombinacije[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Fazni vektor
Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s različitim faznim pomacima je također sinusni val sa istom periodom ili frekvencijom s različitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacije sinusnog i kosinusnog vala [21], se dobiva

gdje je

što je ekvivalentno s

ili čak s

Općenito za proizvoljan fazni pomak vrijedi

gdje je

i

Lagrangeove trigonometrijske jednakosti[uredi | uredi kôd]

Ove jednakosti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.[22][23]

S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.

Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi kôd]

Zbroj sinusa i kosinusa sa varijablama u aritmetičkom nizu [24]:

Za bilo koji a i b vrijedi:

gdje je atan2(y, x) poopćenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kružni opseg.

Koristeći Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez korištenja kompleksnih brojeva može se iskoristiti sljedeći izraz:

Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x + y + z = π, tada je

Određene linearne frakcionalne transformacije[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Möbiusova transformacija
Ako je ƒ(x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom

i slično tome

tada vrijedi

Kraće rečeno, ako je za sve α funkcija ƒα baš ta gore prikazana funkcija ƒ tada vrijedi da je

Jednakosti inverznih trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi kôd]

Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi kôd]

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom[uredi | uredi kôd]

[25] Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,
Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,
[26]
[27]

odnosno

gdje je .

Povezanost s beskonačnim produktima[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Beskonačni produkti
Pri rješavanju specijalnih funkcija, različite koristimo formule koje povezuju beskonačni produkt i trigonometrijske funkcije:[28][29]

Jednakosti bez varijabli[uredi | uredi kôd]

Jednakost bez varijabli

je poseban slučaj jednakosti s jednom varijablom:

Nadalje, također vrijedi da je

Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao što su[30]:

i

Njihovom kombinacijom dobivamo:

Ako je n neparan broj(n = 2m + 1) korištenjem simetrije dobivamo

Određivanje broja π[uredi | uredi kôd]

Mnemonički zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa[uredi | uredi kôd]

Zlatni rez φ[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Zlatni rez i Trigonometrijske konstante

Euklidova jednakost[uredi | uredi kôd]

Infinitezimalni račun[uredi | uredi kôd]

Derivacije[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Derivacija i Popis derivacija trigonometrijskih funkcija
Koristeći infinitezimalni račun, kutovi pri računanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcija mogu se odrediti pomoću dva limesa:

Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se sljedeće jednakosti i pravila:[31][32][33]

Integrali[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članci o temama: Integrali i Popis integrala trigonometrijskih funkcija

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi kôd]

Funkcija Inverzna funkcija[34]

Weierstrassova supstitucija[uredi | uredi kôd]

Vista-xmag.pngPodrobniji članak o temi: Weierstrassova supstitucija

Ako je

tada vrijedi [35]

gdje je eix = cos(x) + i sin(x), što ponekad skraćeno pišemo kao  cis(x).

Vidi još[uredi | uredi kôd]

Bilješke[uredi | uredi kôd]

  1. Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  2. Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
  3. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  4. The Elementary Identities
  5. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  6. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  7. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  8. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  9. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  10. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  11. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  12. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  13. Bronstein, Manual (1989). "Simplification of Real Elementary Functions". Proceedings of the ACM-SIGSAM 1989 international symposium on Symbolic and algebraic computation: 211
  14. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.48
  15. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  16. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  17. Ken Ward's Mathematics Pages, http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
  18. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.31–33
  19. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.34–39
  20. Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities à la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages 311–327
  21. Proof at http://pages.pacificcoast.net/~cazelais/252/lc-trig.pdf
  22. Eddie Ortiz Muñiz (February 1953). "A Method for Deriving Various Formulas in Electrostatics and Electromagnetism Using Lagrange's Trigonometric Identities". American Journal of Physics 21
  23. Alan Jeffrey and Hui-hui Dai (2008). “Section 2.4.1.6”, Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 4th, Academic Press ISBN 9780123742889
  24. Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression
  25. Abramowitz and Stegun, p. 74, 4.3.47
  26. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.2
  27. Abramowitz and Stegun, p. 71, 4.3.1
  28. Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
  29. Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
  30. Weisstein, Eric W., "Sine" from MathWorld
  31. Abramowitz and Stegun, p. 77, 4.3.105–110
  32. Abramowitz and Stegun, p. 82, 4.4.52–57
  33. Finney, Ross (2003). Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic, str. 159–161, Glenview, Illinois: Prentice Hall ISBN 0-13-063131-0
  34. Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.26–31
  35. Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.23

Izvori[uredi | uredi kôd]

Vanjske poveznice[uredi | uredi kôd]