Iracionalna nejednadžba

Nejednadžba kod koje se nepoznata veličina nalazi pod znakom korijena zovu se iracionalne nejednadžba. Premda se u širem smislu pojma iracionalne nejednadžbe nepoznata veličina može nalaziti pod znakom bilo kojeg korijena, u pravilu se pod iracionalnom nejednadžbom podrazumijeva nejednadžba gdje se nepoznata veličina nalazi pod kvadratnim korijenom i gdje je rješavanje iracionalne nejednadžbe relativno jednostavno.

Područje definicije

Iracionalna nejednadžba je definirana za ono područje nepoznate veličine x u kojem je izraz ispod korijena općenito veći ili jednak nuli, gdje je, na primjer, za član:

${\sqrt {x+4}}$ jednadžba definirana $\forall$ x $\in$ $\left\lbrack -4,+\infty \right\rangle$

ili za član

${\sqrt {x^{2}-4}}$ jednadžba definirana $\forall$ x $\in$ $\left\langle -\infty ,-2\right\rbrack ,\left\lbrack +2,+\infty \right\rangle$

Jednostavna iracionalna nejednadžba

Jednostavnijom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava jedan član s nepoznatom veličinom ispod korijena kao na primjer:

${\sqrt {4x-8}}-2>0.$

Sređivanjem i kvadriranjem obje strane jednadžbe nalazimo kako slijedi:

${\begin{aligned}{\sqrt {4x-8}}&>2/^{(2)}\\4x-8&>4\\4x&>12\\x&>3\\\end{aligned}}$

gdje je rješenje iracionalne nejednadžbe svaki x iz intervala: $\left\langle +3,+\infty \right\rangle$.

Složenija iracionalna nejednadžba

Nešto složenijom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava dva člana gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:

${\sqrt {4x-2}}<{\sqrt {2x+8}}$

Kvadriranjem i sređivanjem iracionalne jednadžbe nalazimo, redom:

${\begin{aligned}4x-2&<2x+8\\2x&<10\\x&<5\\\end{aligned}}$

Rješenje iracionalne nejednadžbe je, dakle, x<5 gdje valja ispuniti i uvjet da su izrazi pod korijenima veći od nule, što će s druge strane biti ispunjeno za x>-1/2, odnosno x>-4. Rješenje date nejednadžbe biti će svaki x iz intervala: $\left\langle -{\frac {1}{2}},+5\right\rangle$.

Složena iracionalna nejednadžba

Složenom iracionalnom nejednadžbom možemo smatrati iracionalnu nejednadžbu koja sadržava tri ili više članova gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena kao na primjer:

${\sqrt {2-x}}+{\sqrt {2x+2}}>{\sqrt {3x+6}}$

U traženju rješenja postupa se slično gornjem primjeru:

${\begin{aligned}{\sqrt {2-x}}+{\sqrt {2x+2}}&>{\sqrt {3x+6}}/^{(2)}\\2-x+2{\sqrt {2-x}}{\sqrt {2x+2}}+2x+2&>3x+6\\2{\sqrt {2-x}}{\sqrt {2x+2}}&>2x+2/:(2)\\{\sqrt {2-x}}{\sqrt {2x+2}}&>x+1/^{(2)}\\(2-x)(2x+2)&>x^{2}+2x+1\\4x+4-2x^{2}-2x&>x^{2}+2x+1\\-3x^{2}&>-3/:(-3)\\x^{2}&<1\end{aligned}}$

Rješenja nejednadžbe nalazit će se prema tome unutar intervala $\left\langle -1,+1\right\rangle$ gdje vrijednosti nepoznate veličine udovoljavaju i uvjetu da su izrazi pod korijenima veći od nule.