Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 28. siječnja 2010. u 21:05

Bikvadratna i simetrična jednadžba su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.

Bikvadratna jednadžba

Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: x⁴ = t² i x² = t ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba:

x^{4}-13x^{2}+36=0.\,

Supstitucijom: x⁴ = t² i x² = t nalazimo novu jednadžbu:

t^{2}-13t+36=0,\,

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja početne jednadžbe: $t_{1}=9,t_{2}=4\,$ odn. $x_{1}=+3,x_{2}=-3,x_{3}=+2,x_{4}=-2.\,$

Primjer 2

Zadana je jednadžba: $x^{6}-19x^{3}-216=0.\,$ Supstitucijom: x⁶ = t² te x³ = t nalazimo novu jednadžbu:

t^{2}-19t-216=0.\,

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja: $t_{1}=27,t_{2}=-8\,$ odn. rješenja početne jednadžbe: $x_{1}=+3,x_{2}=-2.\,$

Simetrična jednadžba

Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu. Zadana je jednadžba:

x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1=0.\,

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} x^4+2x^3-6x^2+2x+1& = 0 /:x^2 \\ x^2 +2x – 6 +2 \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} & = 0 \\ (x^2 +\frac{1}{x^2})+ 2(x+ \frac{1}{x})-6\ & = 0 \\ Supstitucija: x+ \frac{1}{x}=t, x^2 +\frac{1}{x^2}=t^2-2 \\ t^2-2 +2t-6& = 0 \\ t^2+2t-8&=0 \end{align} }

Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:

t_{1}=+2,t_{2}=-4.\,

Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:

a)x+{\frac {1}{x}}=2\,

b)x+{\frac {1}{x}}=-4\,

Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:

x^{2}-2x+1=0\,

i prva dva rješenja:

x_{1}=x_{2}=1,\,

a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:

x^{2}+4x+1=0\,

druga dva rješenja:

x_{3}=2+{\sqrt {3}}x_{4}=2-{\sqrt {3}}.\,

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
+'''Bikvadratna i simetrična jednadžba''' su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.
-'''Diofantskom jednadžbom''' nazivamo općenito neodređenu polinomnu jednadžbu ili neodređenu jednadžbu nekog drugog oblika koja, međutim, nalazi rješenja u domeni cijelih pozitivnih brojeva.
-==Linearna Diofantska jednadžba==
+==Bikvadratna jednadžba==
+Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: ''x<sup>4</sup>'' = ''t<sup>2</sup>'' i ''x<sup>2</sup>'' = ''t'' ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.
-Linearna Diofantska [[jednadžba]] ima općeniti oblik:
-:<math>ax+by=c \,  </math>
-gdje može postojati jedno, nekoliko ili neograničeno mnogo rješenja predstavljenih brojevima iz skupa [[prirodni broj|prirodnih brojeva]].
 ===Primjer 1===
-Zadana je Diofantska jednadžba:
+Zadana je jednadžba:
-:<math> 11x+8y=104.\, </math>
+:<math> x^4-13x^2+36=0.   \, </math>
+Supstitucijom: ''x<sup>4</sup>'' = ''t<sup>2</sup>'' i ''x<sup>2</sup>'' = ''t'' nalazimo novu jednadžbu:
-Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
-:<math>
+:<math> t^2-13t+36=0,   \, </math>
+gdje rješavajući dobivenu [[kvadratna jednadžba|kvadratnu jednadžbu]] nalazimo i rješenja početne jednadžbe:
-\begin{align}
+<math> t_1=9, t_2=4  \, </math> odn. <math> x_1=+3, x_2=-3, x_3=+2, x_4=-2 . \, </math>
-y& =  104-11x    \\
-y& =  \frac{104-11x}{8}      \\
-y& = 13- \frac{11x}{8}
-\end{align}
-</math>
-Razlomak jedino može biti cijeli broj za ''x''=8 te je time određeno i jedino rješenje postavljene jednadžbe: ''x''=8, ''y''=2.
 ===Primjer 2===
-Zadana je Diofantska jednadžba:
-:<math> 3x+1=5y \,</math>
-Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
-:<math>
-\begin{align}
-x& = 5y-1     \\
-x& =  \frac{5y-1}{3}      \\
-x& =y+  \frac{2y-1}{3}
-\end{align}
-</math>
-Veličine ''x'' i ''y'' bit će cijeli brojevi ukoliko je i razlomak (2y-1)/3 cijeli broj što je ispunjeno za  uređene parove brojeva (''x, y'') : (3, 2), (8, 5), (13, 8),…. , gdje se može naći po volji velik broj  uređenih parova brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi.
-==Nelinearna Diofantska jednadžba==
-Nelinearnim Diofantskim jednadžbama možemo u širem smislu smatrati jednadže gdje se nepoznate veličine javljaju kao potencije ili umnožak dviju ili više nepoznatih veličina.
-===Nelinearna Diofantska jednadžba u jednostavnom obliku===
 Zadana je jednadžba:
-:<math> xy-2y=7x-5 \, </math>
+<math> x^6 -19x^3-216=0.   \, </math>
+Supstitucijom: ''x<sup>6</sup>'' = ''t<sup>2</sup>''  te ''x<sup>3</sup>'' = ''t'' nalazimo novu jednadžbu:
+:<math> t^2 -19t-216=0.   \, </math>
+gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja:
+<math> t_1=27, t_2=-8  \, </math> odn. rješenja početne jednadžbe: <math> x_1=+3, x_2=-2 . \, </math>
+==Simetrična jednadžba==
+Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu.
+Zadana je jednadžba:
+:<math> x^4+2x^3-6x^2+2x+1=0.   \, </math>
 Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:
 :<math>
 \begin{align}
-y(x-2)& = 7x-5     \\
+x^4+2x^3-6x^2+2x+1& =  0 /:x^2    \\
-y& =  \frac{7x-5}{x-2}   \\
+x^2 +2x – 6 +2 \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} & = 0      \\
-y& = \frac{7x-14+14-5}{x-2}   \\
+(x^2 +\frac{1}{x^2})+ 2(x+ \frac{1}{x})-6\  & = 0     \\
-y& =  7 +  \frac{9}{x-2}
+Supstitucija:  x+ \frac{1}{x}=t,  x^2 +\frac{1}{x^2}=t^2-2   \\
+t^2-2   +2t-6& = 0 \\
+t^2+2t-8&=0
 \end{align}
 </math>
+Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:
-Cjelobrojna rješenja jednadžbe postoje za uređene parove brojeva (''x, y''): (3, 16), (5, 10) i (11, 8).
+:<math> t_1=+2, t_2=-4.  \, </math>
-===Pitagorine trojke===
+Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:
-Pitagorinim trojkama nazivamo uređen skup cijelih brojeva (''x, y, z'') većih od nule koji zadovoljavaju jednadžbu:
-:<math>x^n + y^n = z^n. \,</math>
+:<math>a) x+ \frac{1}{x} =2  \, </math>
+:<math> b) x+ \frac{1}{x}=-4\, </math>
-za n=2. Radi se, očito, o cijelim brojevima koji zadovoljavaju Pitagorin poučak, dakle, o uređenim trojkama brojeva (3, 4, 5), (6, 8, 10), (12, 16, 20), …, itd., gdje se može naći po volji velik broj  uređenih trojki brojeva koji udovoljavaju početnoj jednadžbi. Za prirodni broj ''n''>2 ne postoje takvi prirodni brojevi koji bi udovoljili jednadžbi, što je postavio francuski matematičar [[Pierre de Fermat]] u jednom od svojih teorema.
+Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:
-===Pellova jednadžba===
+:<math>x^2-2x+1=0  \, </math> i prva dva rješenja: <math>x_1=x_2= 1, \, </math>
-Jednadžbu oblika:
+a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:
-:<math>x^2 -n y^2 = \pm 1 \,</math>
+:<math>x^2+4x+1=0  \, </math> druga dva rješenja: <math>x_3= 2+ \sqrt3
-nazivamo Pellova jednadžba, gdje su jednadžbe ovog oblika razmatrali još indijski i starogrčki matematičari. Za svaki prirodan broj ''n'', gdje ''n'' nije kvadrat prirodnog broja, mogu se naći prirodni brojevi ''x'' i ''y'' koji zadovoljavaju iskazanu jednadžbu. Za Pellovu jednadžbu:
-:<math>x^2 - 7y^2 = 1.\, </math>
+x_4= 2-\sqrt3  . \, </math>
-to su brojevi ''x''=8 i ''y''=3, gdje postoji praktički po volji velik broj uređenih parova i drugih brojeva kao što su to: (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151; 3096720); (130576328, 49353213); ... itd.
-===Erdős–Strausova hipoteza===
-Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve n ≥ 2 postoji racionalni broj 4/n koji se može iskazati kao zbroj tri jedinična razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:
-:<math>  \frac{4}{n} =  \frac{1}{x} +  \frac{1}{y} +\frac{1}{z}.  \,  </math>
-Na primjer, za ''n'' = 1801, postoji rješenje jednadžbe gdje je ''x'' = 451, ''y'' = 295364 i ''z'' = 3249004.
-Pomnožimo li obje strane jednadžbe s ''nxyz'', nalazimo Diofantsku jednadžbu oblika:
-:<math> 4xyz=n(xy+xz+yz).\, </math>