Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4

Bikvadratna i simetrična jednadžba su jednadžbe viših potencija koje se u posebnim slučajevima svode na kvadratne.

Bikvadratna jednadžba

Kod bikvadratne jednadžbe moguća je supstitucija oblika: x⁴ = t² i x² = t ili neka slična supstitucija kojom se jednadžba svodi na kvadratnu.

Primjer 1

Zadana je jednadžba:

$x^{4}-13x^{2}+36=0.\,$

Supstitucijom: x⁴ = t² i x² = t nalazimo novu jednadžbu:

$t^{2}-13t+36=0,\,$

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja početne jednadžbe: $t_{1}=9,t_{2}=4\,$ odn. $x_{1}=+3,x_{2}=-3,x_{3}=+2,x_{4}=-2.\,$

Primjer 2

Zadana je jednadžba: $x^{6}-19x^{3}-216=0.\,$ Supstitucijom: x⁶ = t² te x³ = t nalazimo novu jednadžbu:

$t^{2}-19t-216=0.\,$

gdje rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo i rješenja: $t_{1}=27,t_{2}=-8\,$ odn. rješenja početne jednadžbe: $x_{1}=+3,x_{2}=-2.\,$

Simetrična jednadžba

Pri rješavanju simetrične jednadžbe nalazimo odgovarajuću supstituciju kojom se simetrična jednadžba više potencije pretvara u kvadratnu jednadžbu. Zadana je jednadžba:

$x^{4}+2x^{3}-6x^{2}+2x+1=0.\,$

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:Supstitucija: x+ \frac{1}{x}=t, x^2 +\frac{1}{x^2}=t^2-2 x^2+2x–6+2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}

Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/hr.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \begin{align} x^4+2x^3-6x^2+2x+1& = 0 /:(x^2) \\ x^2+2x–6+2\frac{1}{x} &= 0 \\ & = 0 \\ & = 0 \\ & = 0 \end{align} }

${\begin{aligned}&=0\\(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}})+2(x+{\frac {1}{x}})-6\&=0\\t^{2}-2+2t-6&=0\\t^{2}+2t-8&=0\end{aligned}}$

Rješavajući dobivenu kvadratnu jednadžbu nalazimo da je:

$t_{1}=+2,t_{2}=-4.\,$

Sukladno uvedenoj supstituciji možemo ustvrditi da je:

$a)x+{\frac {1}{x}}=2\,$

$b)x+{\frac {1}{x}}=-4\,$

Prema a) nalazimo novu kvadratnu jednadžbu:

$x^{2}-2x+1=0\,$ i prva dva rješenja: $x_{1}=x_{2}=1,\,$

a prema b) nalazimo i drugu novu kvadratnu jednadžbu:

$x^{2}+4x+1=0\,$ druga dva rješenja: $x_{3}=2+{\sqrt {3}}x_{4}=2-{\sqrt {3}}.\,$