Suradnik:Dubravko1/mojpredlozak4: razlika između inačica
Nema sažetka uređivanja |
Nema sažetka uređivanja |
||
Redak 35: | Redak 35: | ||
===Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje=== |
===Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje=== |
||
Razmotramo li pravokutni napon amplitude <math>\pm</math> ''U<sub>m</sub>'', perioda ''T'', nalazimo da je u vremenu od ''t''=0 do ''t''=''T'' izvršen ukupan rad: |
Razmotramo li pravokutni napon amplitude <math>\pm</math> ''U<sub>m</sub>'', perioda ''T'', nalazimo da je u vremenu od ''t''=0 do ''t''=''T'' izvršen ukupan rad: |
||
:<math>\!W = \frac {U^ |
:<math>\!W = \frac {U^2_{eff}}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {u^2(t)}{R}dt.</math> |
||
:<math>\frac {U^2_eff}{R}T= \int_{t=0}^{t=T} \frac {U^2(t)}{R}dt,</math> |
|||
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom: |
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom: |
||
:<math> |
:<math> |
||
\begin{align} |
\begin{align} |
||
U^ |
U^2_{eff} T& = \int_{t=0}^{t=T} u^2(t)dt \\ |
||
& = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} (-U_m)^2(t)dt \\ |
& = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} (-U_m)^2(t)dt \\ |
||
& = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} U_m^2(t)dt \\ |
& = \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2dt + \int_{t=T/2}^{t=T} U_m^2(t)dt \\ |
||
& = U_m^2 |
& = U_m^2\frac{T}{2} + U_m^2T- U_m^2\frac{T}{2} \\ |
||
U^ |
U^2_{eff} T & = U_m^2T /(:T) \\ |
||
U^ |
U^2_{eff} & = U_m^2 /^{(1/2)} \\ |
||
U_{eff} & = U_m |
|||
\end{align} |
\end{align} |
||
</math> |
</math> |
||
što znači da je efektivna vrijednost |
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti. |
||
===Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje=== |
===Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje=== |
||
Razmotramo li periodički promjenljiv napon: |
Razmotramo li periodički promjenljiv napon: |
Inačica od 2. veljače 2010. u 20:04
Pojam efektivne vrijednosti napona i struje od temeljne je važnosti pri razmatranju rada i snage izmjeničnog električnog napona i struje te povezuje amplitudu i oblik izmjeničnog napona, odn. struje s pojmom rada i snage napona, odn. struje.
Rad i snaga u mehanici
Rad je u fizici definiran kao savladavanje sile na određenom putu. Ukoliko je sila ne mijenja svoj iznos tijekom puta tada je ukupan rad određen kao::
gdje je W rad, F sila, a s put na kojem je djelovala sila. Ukoliko sila F tijekom svojeg djelovanja nije konstantna, tada je ukupan rad određen kao:
gdje je sila djelovala na putu od s=0 do s=s, a gdje je iznos sile u svakoj točki puta određen funkcijom F=F(s). Definiramo li snagu kao brzinu obavljanja rada, tada je prosječna snaga određena kao:
gdje je W ukupan rad izvršen u vremenu t, a uz uvjet da je rad u svakom trenutku jednak. Ukoliko, međutim, na tijelo djeluje promjenljiva sila tada niti rad u svakom trenutku ne će biti jednak, gdje možemo definirati trenutnu snagu sustava kao:
Rad i snaga u elektrostatici
Kako bi se električni naboj +q pomaknuo suprotno smjeru električnog polja konstantne jakosti, valja savladati odbojnu elektrostatsku silu i u tu svrhu uložiti odgovarajuću energiju, odn. izvršiti odgovarajući rad:
gdje je W rad izvršen u električnom polju, F sila električnog polja koja djeluje na naboj, s pomak naboja protivno smjeru silnica električnog polja, E jakost električnog polja, a U razlika potencijala između točaka na putu s, od Us=0 do Us=s.
Rad i snaga istosmjerne električne struje
Ukoliko se naboj giba kontinuirano, odn. jednoliko tada možemo govoriti o istosmjernoj električnoj struji gdje je tada rad određen kao:
Sada već možemo razmatrati strujni krug kojim teče struja I kroz neki otpornik otpora R tijekom vremena t. Ukupan rad izvršen nad elektičnim nabojima proteklim kroz otpor razmjeran je, dakle, jačini napona (pad napona na otporu), jačini struje kroz otpor i vremena u kojem je tekla električna struja. Razmatramo li utrošak energije u jedinici vremena, tada možemo za istosmjerne napone i struje definirati električnu snagu kao:
Rad i snaga izmjeničnog napona i struje
Pri prolasku izmjenične struje kroz razmatrano opterećenje otpora R, napon, odn. pad napona na otporu i električna struja koja teče kroz otpor mijenjaju se u svakom trenutku vremena. Ukoliko vremenski period učinimo po volji kratkim tada je izvršen rad na otporu jednak:
gdje su u, odn. i neke odgovarajuće trenutne vrijednosti napona, odn. struje izražene funkcijama u(t), odn. i(t). Međutim, kada:
možemo zapisati da je ukupan rad u vremenu T jednak:
Uvedimo sada pojam efektivne vrijednosti izmjeničnog napona, odn. struje kao onu vrijednost izmjeničnog napona, odn. struje koja bi na otporu R oslobodila istu energiju kao upravo jednaka vrijednost istosmjerne električne struje.
Rad i snaga izmjeničnog pravokutnog napona i struje
Razmotramo li pravokutni napon amplitude Um, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog napona pravokutnog oblika jednaka njegovoj maksimalnoj vrijednosti što se moglo i pretpostaviti. Jednako vrijedi i za pravokutni oblik izmjenične struje, gdje je efektivna vrijednost izmjenične struje pravokutnog oblika jednaka njezinoj maksimalnoj vrijednosti.
Rad i snaga izmjeničnog sinusoidalnog napona i struje
Razmotramo li periodički promjenljiv napon:
- Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\omegat"): {\displaystyle u(t)= U_msin(\omegat) \,}
odn. struju:
- Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\omegat"): {\displaystyle u(t)= I_msin(\omegat) \,}
gdje su Um, odn. Im vršne vrijednosti (amplitude) izmjeničnog napona, odn. struje, perioda T, nalazimo da je u vremenu od t=0 do t=T izvršen ukupan rad:
- odn.
gdje slično pravokutnom izmjeničnom naponu nalazimo da je:
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo za, na primjer izmjenični napon, redom:
- Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} U^2_eff T& = \int_{t=0}^{t=T} U_m^2 sin^2(\omega t)dt \\ & = \int_{t=0}^{t=T} \frac{1}{2} U_m^2 (1- cos(2\omega t))dt \\ & = \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T}dt- \frac{1}{2} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} cos(2\omega t)dt \\ & = \frac{T}{2} U_m^2 -\frac{1}{(2\omega t} U_m^2 \int_{t=0}^{t=T} cos(2\omega t)d(2\omega t)dt end{align} }
Kako je, međutim, vrijednost integrala u naznačenim granicama jednaka nuli, može se zapisati da je, redom:
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona jednaka približno:
- Obrada nije uspjela. (neispravna sintaksa): {\displaystyle U_eff & = 0,707U_m , \,}
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:
- Obrada nije uspjela. (neispravna sintaksa): {\displaystyle I_eff & = 0,707I_m . \,}
gdje je vidljivo da efektivna vrijednost izmjeničnog sinusoidalnog napona, odn. struje ne ovisi o frekvenciji.
Rad i snaga izmjeničnog pilastog napona i struje
Razmatramo li periodički promjenljiv pilasti napon vršne vrijednosti Um perioda T, u vremenu od t=0 do t=T izvršen je ukupni rad:
Pomnožimo li jednakost s R nalazimo, redom:
- Obrada nije uspjela. (nepoznata funkcija "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} U^2_eff T& = 2 \int_{t=0}^{t=T/2}( U_m\frac{t}{T} )^2 dt \\ & = 2 \int_{t=0}^{t=T/2} U_m^2 \frac{t^2}{T^2} dt \\ & = 2 U_m^2 \frac{1}{2 T^2} \int_{t=0}^{t=T/2} t^2dt \\ & = 2 U_m^2 \frac{1}{2 T^2} \frac{t^3}{3} \\ & = 2 U_m^2 \frac{1}{2 T^2} \frac{T^3}{3\cdot8} /:T \\ U^2_eff T & = U_m^2 \frac{1}{ T^3} \frac{T^3}{3\cdot8} \\ U^2_eff & = end{align} }
što znači da je efektivna vrijednost izmjeničnog pilastog napona jednaka približno:
gdje bi se na jednak način pokazalo da je efektivna vrijednost izmjenične sinusoidalne struje približno jednaka:
- Obrada nije uspjela. (MathML sa SVG ili PNG za rezervu (preporučljivo za moderne preglednike i alate za pristupačnost): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/hr.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle I_eff = 0,707I_m . \,}