Kugla: razlika između inačica

Izvor: Wikipedija
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
JAnDbot (razgovor | doprinosi)
m r2.6) (robot Dodaje: vep:Šur Mijenja: ru:Шар, sv:Klot
MastiBot (razgovor | doprinosi)
m r2.7.2) (robot Dodaje: bs:Kugla
Redak 86: Redak 86:
[[az:Kürə]]
[[az:Kürə]]
[[be-x-old:Куля (геамэтрыя)]]
[[be-x-old:Куля (геамэтрыя)]]
[[bs:Kugla]]
[[ca:Bola (matemàtiques)]]
[[ca:Bola (matemàtiques)]]
[[cs:Koule]]
[[cs:Koule]]

Inačica od 9. travnja 2012. u 01:22

Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta S manja ili jednaka polumjeru R. Omeđena je sferom polumjera R, tj. skupom točaka prostora čija je udaljenost od središta jednaka R. Među svim tijelima danog obujma kugla ima najmanje oplošje.

Obujam kugle

Kugla

Izraz za obujam kugle izveo je još Arhimed koji je pokazao da je volume kugle jednak 2/3 volumena kugli opisanog valjka, a sukladno kasnije formuliranom Cavalierievom pravilu. U suvremenoj matematici izraz za obujam kugle se izvodi posredstvom integralnog računa.

Postavimo kuglu polumjera R u središte x,y,z koordinatnog sustava tako da os x bude smještena vodoravno, a os y okomito. Tako postavljenu kuglu možemo podijeliti na vrlo velik broj diskova koji će stajati paralelno u odnosu na ravninu koju određuju osi y i z. Polumjer svakog diska određen je koordinatom y, gdje će y poprimati vrijednosti od y=0 do y=R i natrag do y=0. Obujam svakog diska jednak je približno umnošku površine diska i debljine diska:

za neki dati x. Kako raste broj podjela tako

i možemo provesti sve točniju sumaciju svih diskova kugle te je:

Kako broj diskova teži u beskonačnost tako i debljina diskova teži k nuli. U tom procesu je očito na kraju debljina svakog diska beskonačno mala te možemo provesti integraciju:

Iz presjeka kugle duž ravnine x/y slijedi da je:

te se integral može prikazati in a ovaj način:

odakle redom slijedi:

te je konačno obujam kugle:

Oplošje kugle

Podijelimo li kuglu na velik broj koncentričnih sferastih ljuski površine O i debljine:

te pustimo li da:

možemo provesti integraciju:

gdje je rezultat integracije obujam kugle, odnosno:

.

Diferencirajući ovu jednadžbu nalazimo da je za r=R:

odakle slijedi da je oplošje kugle jednako:

Jednadžba kugle polumjera R sa središtem u točki S(a,b,c)

Kuglin isječak

Općenita jednadžba kugle sa središtem u točki S(a, b, c) određena je jednakosti:

Volumen kuglina isječka

Kuglin isječak je geometrijsko tijelo nastalo rotacijom kružnog isječka oko osi rotacije (dijametra). Volumen kuglinog isječka za polumjer kugle R je:

Volumen kuglina odsječka

Kuglin odsječak

Kuglin odsječak (kalota) je geometrijsko tijelo tj. dio kugle nastao presjecanjem kugle i ravnine. Površina kuglinog odsječka (kalote) za polumjer kugle R i visine kalote h je:

Volumen kuglinog odsječka, ako je kugla polumjera R i visine odsječka h :