Kubna jednadžba

Pod kubnom jednadžbom podrazumijevamo jednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 3, dakle jednadžbu općenitog oblika

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$

koja ustvari predstavlja poseban slučaj polinoma n-tog reda gdje je n=2.

Rješenja kubne jednadžbe

Rješenja kubne jednadžbe tj. nultočke kubne funkcije dobiju se rješavanjem jednadžbe:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,$

Osobine rješenja jednadžbe

Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti:

$\Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\,$

• ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena
• ako je Δ > 0, svi su korijeni realni i različiti
• ako je Δ = 0, svi su korijeni realni i bar dva su jednaka .

Općenita rješenja

Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu

$ax^{3}+3x^{2}+4x+2=\,0$

određeno je kako slijedi:

${\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}$

Izvor

http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007111502216