Kubna funkcija: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 6. rujna 2015. u 23:27

Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika: $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$ , gdje je a različito od nule. Pripadna jednadžba f'(x)=0 je kubna jednadžba. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na realnu funkciju realne varijable , što znači da su koeficijenti a,b,c,d realni brojevi, a vrijednosti varijable x realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije.

Karakteristične vrijednosti kubne funkcije

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nultočke funkcije ili njene ekstreme (slika desno).

Nultočke kubne funkcije

Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke , a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) x-os. Tako za funkciju $f(x):=x^{3}+3x^{2}-6x-8\,$ nultočke su redom brojevi -4,1,2, što se vidi i iz grafa koji siječe x-os redom u točkama (-4,0),(-1,0),(2,0). Sve se očituje i na rastavu funkcije f na faktore: $x^{3}+3x^{2}-6x-8=(x+4)(x+1)(x-2)\,$ . Drugu mogućnost ilustrira funkcija $f(x):=x^{3}-2x^{2}+x=x(x-1)^{2}\,$ . Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe x-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja $f(x):=x^{3}\,$ kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija $f(x):=x^{3}+x=x(x^{2}+1)=x(x+i)(x-i)\,$ . Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su -i,i kompleksno-konjugirane.

Ekstremi kubne funkcije i prijevojna točka

Kritične točke funkcije jesu one (realne) vrijednosti od x za koje je prva derivacija jednaka nuli. Kako je f'(x)= 3ax²+2bx+c kvadratna funkcija kojoj je diskriminanta $2{\sqrt {b^{2}-3ac}}\,$ , kubna funkcija ima dva lokalna ekstrema ( lokalni minimum i lokalni maksimum) ako je $b^{2}-3ac>0\,$ . Ako je pak $b^{2}-3ac\leq 0$ , onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je $b^{2}-3ac=0$ , dok za $b^{2}-3ac<0$ nema ni jednu.

Prijevojna točka (točka infleksije) funkcije jest ona vrijednost od x za koju je druga derivacija jednaka nuli. Kako je f''(x)=6ax+2b, kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku i to $x_{0}=-{\frac {b}{3a}}\,$ , koja je ujedno i kritična ako je $b^{2}-3ac>=0\,$ , inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je a pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio.

Primjena kubne funkcije

Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću kubnog splinea.

Veza s kubnim polinomom

Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti područje definicije i područje vrijednosti, dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki komutativni prsten). Ostatci 0,1,2 pri dijeljenju s 3 čine polje s obzirom na zbrajanje i množenje modulo 3. Izrazima $f(x)=x^{3}+2x\,$ i $f(x)=2x^{3}+x\,$ zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake ( sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.

Literatura

Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
 '''Kubna funkcija'''  u matematici je svaka [[funkcija]] oblika:
 <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \,</math>,
+gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba   ''f''''(x)''=''0'' je [[kubna jednadžba]].  U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na  [[realna funkcija|realnu funkciju]] [[varijabla|realne varijable]] , što znači da su [[koeficijent|koeficijenti]] ''a'',''b'',''c'',''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije,  razmatraju samo takve  funkcije.
-gdje je ''a'' različito od nule.
 ==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==
@@ Redak 7: / Redak 7: @@
 Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u [[koordinatni sustav|koordinatnom sustavu]] na grafu funkcije predočavaju, na primjer, [[nultočka|nultočke]] funkcije ili njene ekstreme (slika desno).
 ===Nultočke kubne funkcije===
+Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku  nultočku ili jednu (jednostruku)  nultočku.  Misli se na realne nultočke , a ako  se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) ''x''-os. Tako za funkciju <math> f(x):= x^3 +3x^2 - 6x - 8  \,   </math>  nultočke su redom brojevi   -4,1,2, što se vidi i iz grafa koji siječe ''x''-os redom u točkama (-4,0),(-1,0),(2,0).  Sve se očituje i na rastavu funkcije ''f'' na faktore:  <math>  x^3 +3x^2 - 6x - 8  =(x+4)(x+1)(x-2)\,   </math>.  Drugu mogućnost ilustrira funkcija  <math> f(x):= x^3 -2x^2 +x =x(x-1)^2  \,   </math>.   Tu  je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka.  U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe ''x''-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki  (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja  <math> f(x):= x^3  \,   </math>  kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je  primjer treće mogućnosti.  Konačno, posljednju mogućnost ilustrira  funkcija <math> f(x):= x^3 +x=x(x^2+1)=x(x+i)(x-i)  \,   </math> .  Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su ''-i'',''i'' kompleksno-konjugirane.
-U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći [[nultočka|nultočke]] funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:
-:<math>  x^3 +3x^2 - 6x - 8=0  \,   </math>
-rješenja koje su :
-:<math> x_1=-4, x_2=-1, x_3=2 \, </math>
-Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.
-Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke, tada će [[nultočka|nultočke]] funkcije biti [[realni broj]]evi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni [[kompleksni broj|kompleksnih brojeva]] i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.
-===Ekstremi kubne funkcije===
+===Ekstremi kubne funkcije i prijevojna točka===
+[[kritična točka (matematika)|Kritične točke]]  funkcije jesu one  (realne) vrijednosti od ''x'' za koje je prva [[derivacija (matematika)|derivacija]] jednaka nuli.  Kako je ''f'''(''x'')= 3''ax''<sup>2</sup>+2''bx''+''c'' [[kvadratna funkcija]] kojoj je [[diskriminanta]]  <math> 2\sqrt{b^2-3ac}\, </math> ,  kubna funkcija ima dva  [[lokalni ekstrem| lokalna ekstrema]] ( [[lokalni minimum]] i [[lokalni maksimum]]) ako je  <math> b^2-3ac >0 \, </math>.  Ako je pak <math> b^2-3ac \leq 0  </math>, onda je  funkcija strogo monotona.  Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je  <math> b^2-3ac =0  </math>, dok za  <math> b^2-3ac <0  </math> nema ni jednu.
-Kubna funkcija ima dva ekstrema (ako nije monotona), jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju
+[[Prijevojna točka]] (točka infleksije) funkcije jest ona  vrijednost od  ''x'' za koju je druga derivacija jednaka nuli.  Kako je ''f''''(''x'')=6''ax''+2''b'', kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku  i  to  <math> x_0=-\frac{b}{3a} \, </math>, koja je ujedno i kritična ako je <math> b^2-3ac>=0 \, </math>, inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od  konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je ''a'' pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio.
-:<math> y= x^3 +3x^2 - 6x - 8\, </math>
-točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:
-:<math>  dy=3x^2dx +6xdx -6dx  \, </math>
-odakle slijedi da je
-:<math>  dy=(3x^2+6x-6)dx  \, </math>
-:<math> y' = \frac{dy}{dx}=3x^2+6x-6 = x^2+2x-2.  \, </math>
+==Primjena kubne funkcije ==
-Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja [[kvadratna jednadžba|kvadratne jednadžbe]] zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama
+Kubne funkcije,  makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima:  nultočke,  lokalni ekstremi,  prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti.  Zato su pogodne za modeliranje  promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću [[kubni spline|kubnog splinea]].
-:<math> x_{1,2} =-1\pm  \sqrt3 .  \, </math>
-O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.
+==Veza s kubnim polinomom ==
+Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako.  Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je  potrebno naznačiti  [[područje  definicije]] i [[područje vrijednosti]], dok  se polinom zadaje  koeficijentima i  naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki [[komutativni prsten]]).  Ostatci  0,1,2 pri dijeljenju s 3  čine  [[polje]] s obzirom na zbrajanje i množenje modulo 3.  Izrazima  <math> f(x)=x^3+2x  \, </math>  i  <math> f(x)=2x^3+x \, </math>  zadana su dva različita polinoma nad tim poljem  (jer su koeficijenti  različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije  i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake ( sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.
 ==Literatura==