Kubna funkcija: razlika između inačica

Izvor: Wikipedija
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
mNema sažetka uređivanja
Nema sažetka uređivanja
Redak 1: Redak 1:
'''Kubna funkcija''' u matematici je svaka [[funkcija]] oblika:
'''Kubna funkcija''' u matematici je svaka [[funkcija]] oblika:
<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \,</math>,
<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \,</math>,
gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba ''f''''(x)''=''0'' je [[kubna jednadžba]]. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na [[realna funkcija|realnu funkciju]] [[varijabla|realne varijable]] , što znači da su [[koeficijent|koeficijenti]] ''a'',''b'',''c'',''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije.
gdje je ''a'' različito od nule. Pripadna jednadžba <math>f(x)=0</math> je [[kubna jednadžba]]. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na [[realna funkcija|realnu funkciju]] [[varijabla|realne varijable]] , što znači da su [[koeficijent|koeficijenti]] ''a'',''b'',''c'',''d'' realni brojevi, a vrijednosti varijable ''x'' realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije.


==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==
==Karakteristične vrijednosti kubne funkcije ==

Inačica od 7. rujna 2015. u 10:26

Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika: , gdje je a različito od nule. Pripadna jednadžba je kubna jednadžba. U pravilu, a naročito u nastavi matematike u srednjoj školi, misli se na realnu funkciju realne varijable , što znači da su koeficijenti a,b,c,d realni brojevi, a vrijednosti varijable x realne. Od sada se, ukoliko izrijekom ne bude rečeno drukčije, razmatraju samo takve funkcije.

Karakteristične vrijednosti kubne funkcije

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nultočke funkcije ili njene ekstreme (slika desno).

Nultočke kubne funkcije

Kubna funkcija može imati tri nultočke, dvije nultočke od kojih je jedna dvostruka, jednu trostruku nultočku ili jednu (jednostruku) nultočku. Misli se na realne nultočke , a ako se dopuste i kompleksne, onda u posljednjem slučaju, uz rečenu realnu, postoje još i dvije kompleksno-konjugirane. Dakle, uvijek postoji bar jedna realna nultočka. Geometrijski, nultočke se očitavaju iz grafa funkcije: to su prve koordinate točaka u kojima graf funkcije siječe (odnosno dira) x-os. Tako za funkciju nultočke su redom brojevi -4,1,2, što se vidi i iz grafa koji siječe x-os redom u točkama (-4,0),(-1,0),(2,0). Sve se očituje i na rastavu funkcije f na faktore: . Drugu mogućnost ilustrira funkcija . Tu je 0 jednostruka, a 1 dvostruka nultočka. U koordinatnom sustavu to se očituje tako što graf siječe x-os u točki (0,0),a dodiruje je u točki (1,0) gdje je nultočka dvostruka. Funkcija kubiranja kojoj je 0 trostruka nultočka, najjednostavniji je primjer treće mogućnosti. Konačno, posljednju mogućnost ilustrira funkcija . Vidi se da je 0 jedina (realna) nultočka, dok su -i,i kompleksno-konjugirane.


Ekstremi kubne funkcije i prijevojna točka

Kritične točke funkcije jesu one (realne) vrijednosti od x za koje je prva derivacija jednaka nuli. Kako je f'(x)= 3ax2+2bx+c kvadratna funkcija kojoj je diskriminanta , kubna funkcija ima dva lokalna ekstrema ( lokalni minimum i lokalni maksimum) ako je . Ako je pak , onda je funkcija strogo monotona. Tada funkcija ima jednu kritičnu točku ako je , dok za nema ni jednu.

Prijevojna točka (točka infleksije) funkcije jest ona vrijednost od x za koju je druga derivacija jednaka nuli. Kako je f''(x)=6ax+2b, kubna funkcija ima jedinstvenu prijevojnu točku i to , koja je ujedno i kritična ako je , inače nije. Graf kubne funkcije uvijek se sastoji od konveksnog i konkavnog dijela, koji se sastaju u prijevojnoj točki. Ako je a pozitivan prvo dolazi konkavni, a ako je negativan, konveksni dio.



Primjena kubne funkcije

Kubne funkcije, makar jednostavne, obiluju raznim svojstvima: nultočke, lokalni ekstremi, prijevojne točke, sve kombinacije rasta, pada, konveksnosti i konkavnosti. Zato su pogodne za modeliranje promjene neke veličine u vremenu, ili, općenito, veze među dvjema veličinama, naročito pomoću kubnog splinea.

Veza s kubnim polinomom

Obično se smatra da između kubne funkcije i kubnog polinoma nema nikakve razlike. Strogo matematički gledano, to nije tako. Osim zadavanja pravila prema kojemu djeluje, za funkciju je potrebno naznačiti područje definicije i područje vrijednosti, dok se polinom zadaje koeficijentima i naznačavanjem područja kojemu koeficijenti pripadaju (u pravilu neki komutativni prsten). Ostatci 0,1,2 pri dijeljenju s 3 čine polje s obzirom na zbrajanje i množenje modulo 3. Izrazima i zadana su dva različita polinoma nad tim poljem (jer su koeficijenti različiti). Također, zadane su i dvije funkcije kojima su i područje definicije i skup vrijednosti to polje. Te su dvije funkcije jednake (sve su im vrijednosti jednake nuli). Dakle različiti polinomi, ali jednake funkcije.


Literatura

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.