Kubna jednadžba: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 19. rujna 2015. u 16:53

Pod kubnom jednadžbom podrazumijeva se jednadžba oblika

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,

gdje je a različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti a,b,c,d realni brojevi^[1]. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg polja ^[2]

Rješenja kubne jednadžbe

Rješenje kubne jednadžbe, odnosno korijen pripadnog polinoma trećeg stupnja

f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,

jest svaki broj x₀ za kojeg vrijedi $ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d=0.$ Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći kratnosti): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno konjugirana rješenja.

Osobine rješenja jednadžbe

Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti:

\Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\,

ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna korijena
ako je Δ > 0, svi su korijeni realni i različiti
ako je Δ = 0, svi su korijeni realni i bar dva su jednaka .

Općenita rješenja

Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0

određeno je kako slijedi:

{\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}

Izvori

↑ Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.
↑ B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.

[1] Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.

[2] B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.

[1]

[2]

@@ Redak 1: / Redak 1: @@
-Pod '''kubnom jednadžbom''' podrazumijevamo jednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 3, dakle jednadžbu općenitog oblika
+Pod '''kubnom jednadžbom''' podrazumijeva se jednadžba oblika
 :<math> ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, </math>
+gdje je ''a'' različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti ''a,b,c,d'' realni brojevi<ref>Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.</ref>. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg [[polje|polja]] <ref>B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.</ref>
-koja ustvari predstavlja poseban slučaj [[polinomi|polinoma]] n-tog reda gdje je n=2.
 == Rješenja kubne jednadžbe ==
-Rješenja kubne [[jednadžba|jednadžbe]] tj. nultočke kubne funkcije dobiju se rješavanjem jednadžbe:
+Rješenje kubne [[jednadžba|jednadžbe]], odnosno [[korijen]] pripadnog [[polinom]]a trećeg stupnja
-:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0.\,</math>
+:<math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0\,</math>
+jest svaki [[broj]] ''x''<sub>0</sub> za kojeg vrijedi <math> ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 + d = 0. </math> Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći [[kratnost]]i): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno konjugirana rješenja.
 === Osobine rješenja jednadžbe===
 Vrsta korijena jednadžbe se određuje po diskriminanti:
@@ Redak 30: / Redak 32: @@
 &+\frac{1+i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c+27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
 \end{align}</math>
-== Izvor ==
+== Izvori ==
-http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7007111502216
 [[Kategorija:Jednadžbe i nejednadžbe]]