Kubna jednadžba: razlika između inačica

Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj

Prikaz u jednom stupcu

Inačica od 20. rujna 2015. u 12:12

Pod kubnom jednadžbom podrazumijeva se jednadžba oblika

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (1)

gdje je a različit od nule. U nastavi matematike u srednjoj školi obično se smatra da su koeficijenti a,b,c,d realni brojevi^[1]. Općenito, to mogu biti elementi bilo kojeg polja ^[2]

Rješenja kubne jednadžbe

Rješenje kubne jednadžbe, odnosno korijen pripadnog polinoma trećeg stupnja

f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\qquad (2)

jest svaki broj x₀ za kojeg vrijedi $ax_{0}^{3}+bx_{0}^{2}+cx_{0}+d=0.$ Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja (brojeći kratnosti): dakle, mogu biti tri različita rješenja, dva rješenja od kojih je jedno dvostruko ili jedno trostruko rješenje. Ako su koeficijenti realni brojevi onda uvijek ima bar jedno realno rješenje, ali može se dogoditi da preostala dva budu kompleksna. Preciznije, mogu biti tri različita realna, dva različita realna od kojih je jedno dvostruko, jedno realno trostruko ili jedno realno i dva kompleksno-konjugirana rješenja, analogno nultočkama kubne funkcije.

Diskriminanta kubne jednadžbe

Često se diskriminantom kubne jednadžbe naziva diskriminanta

\Delta =a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{3}-x_{1})^{2}\qquad (3)

pripadnog polinoma (2), gdje su $x_{1},x_{2},x_{3}$ korijeni polinoma (rješenja jednadžbe (1)). Vrijedi ^[2],

\Delta =-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}+18abcd-27a^{2}d^{2}.\qquad (4),

Ovo vrijedi za sve kubne jednadžbe, a ne samo za one s realnim koeficijentima.

Osobine rješenja jednadžbe

Za kubne jednadžbe s realnim koeficijentima, karakter rješenja ovisi o predznaku diskriminante. Iz (3) slijedi:

ako je Δ < 0, onda jednadžba ima jedan realan i dva kompleksna rješenja
ako je Δ > 0, rješenja su realna i različita
ako je Δ = 0, rješenja su realna i bar dva su međusobno jednaka (dvostruko ili trostruko rješenje).

Tako nešto općenito nema smisla za jednadžbe s kompleksnim koeficijentima.

Cardanova formula

Kubna jednadžba rješiva je u radikalima. To vrijedi za jednadžbu s koeficijentima u bilo kojem polju (uz uvjet da mu je karakteristika različita od 2 i od 3). Tada se jednadžba pogodnom linearnom zamjenom može svesti na jednostavniji oblik $x^{3}+px+q=0.$ Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. Cardanovom formulom

x=u+v={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}},}}

iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima. Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose unutar kompleksnih brojeva, drugi korijen ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, korjenovanje je jednoznačna operacija). Zato svaki od pribrojnika u formuli ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po trivrijednosti, pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuići kratnosti u posebnim slučajevima) ^[3] To se postiže tako da se za svaku od triju vrijednosti za u za vrijednost od v uzme $-{\frac {p}{3u}}$ . Na primjer, za jednadžbu $x^{3}-3x=0$ , lako se vidi da su rješenja brojevi $0,-{\sqrt {3}},{\sqrt {3}}$ , dok Cardanova formula daje $x=u+v={\sqrt[{3}]{\sqrt {-1}}}+{\sqrt[{3}]{-{\sqrt {-1}}}}={\sqrt[{3}]{i}}+{\sqrt[{3}]{-i}}$ (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: imaginarna jedinica i). Pribrojnik u sad ima vrijednosti redom ${\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i,-i$ dok su pripadne vrijednosti od $v=1/u={\bar {u}}$ (kompleksno konjugiranje), jedanake redom ${\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {1}{2}}i,i$ , a vrijednosti zbroja u+v redom ${\sqrt {3}},-{\sqrt {3}},0$ , što i jesu rješenja zadane jednadžbe.

Općenita rješenja

Općenito rješenje za svaku kubnu jednadžbu

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=\,0

određeno je kako slijedi:

{\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}

Izvori

↑ Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.
↑ ^a ^b B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.
↑ Ivica Gusić, Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e, Broj 1, veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html

[1] Jelena Gusić, Petar Mladinić, Boris Pavković, Matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 2006.

[Fon-2] B.L. van der Vaerden, Algebra I, Springer, 1991.

[3] Ivica Gusić, Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e, Broj 1, veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html

[1]

[2]

[3]

@@ Redak 30: / Redak 30: @@
 Rješenja te jednadžbe mogu se zapisati tzv. [[Cardano]]vom formulom
 :<math>x=u+v=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}- \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}},}</math>
-iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima.  Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose  unutar kompleksnih brojeva, drugi korijen ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, korjenovanje je jednoznačna operacija).  Zato svaki od pribrojnika u formuli ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po trivrijednosti,  pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuići kratnosti u posebnim slučajevima) <ref>Ivica Gusić,  Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e,  Broj 1,  veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html</ref>  To se postiže  tako da se za svaku od triju vrijednosti za ''u'' za vrijednost od ''v'' uzme  <math>-\frac{p}{3u}</math>.  Na primjer, za jednadžbu <math>x^3-3x=0</math>,  lako se vidi da su rješenja brojevi <math>0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}</math>, dok Cardanova formula daje <math>x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}</math>  (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: [[imaginarna jedinica]] ''i''). Pribrojnik ''u'' sad ima vrijednosti redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i</math> dok su pripadne vrijednosti od  <math>v=1/u=\bar u</math> (kompleksno konjugiranje), jedanake redom  <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, i</math> , a vrijednolsti zbroja ''u+v'' redom <math>\sqrt{3},-\sqrt{3},0</math>, što i jesu rješenja zadane jednadžbe.
+iz koje se razaznaje da se rješenja mogu predočiti u zavisnosti od koeficijenata koristeći se osnovnim računskim operacijama i drugim i trećim korijenima.  Nazivnici zorno pokazuju da formula nema smisla ako je karakteristika polja 2 ili 3. Općenito, a napose  unutar kompleksnih brojeva, drugi korijen ima dvije vrijednosti, a treći tri (samo za realne brojeve, prema dogovoru, korjenovanje je jednoznačna operacija).  Zato svaki od pribrojnika u formuli ima općenito šest vrijednosti. Ako se za drugi korijen izabere jedna od dviju vrijednosti (što je dopustivo jer su u pribrojnicima pred njima različiti predznaci, a ispod drugih korijena nema razlike), onda svaki od pribrojnika općenito ima po trivrijednosti,  pa bi zbroj općenito imao devet vrijednosti. Zato ovu formulu treba protumačiti tako da ona daje tri vrijednosti (računajuići kratnosti u posebnim slučajevima) <ref>Ivica Gusić,  Zašto su uvedeni kompleksni brojevi, math.e,  Broj 1,  veljača 2004, http://e.math.hr/old/povmat/pov1.html</ref>  To se postiže  tako da se za svaku od triju vrijednosti za ''u'' za vrijednost od ''v'' uzme  <math>-\frac{p}{3u}</math>.  Na primjer, za jednadžbu <math>x^3-3x=0</math>,  lako se vidi da su rješenja brojevi <math>0,-\sqrt{3}, \sqrt{3}</math>, dok Cardanova formula daje <math>x=u+v=\sqrt[3]{\sqrt{-1}}+ \sqrt[3]{-\sqrt{-1}}=\sqrt[3]{i}+ \sqrt[3]{-i}</math>  (nakon što se za drugi korijen iz -1 izabere jedna vrijednost: [[imaginarna jedinica]] ''i''). Pribrojnik ''u'' sad ima vrijednosti redom <math>\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i, -i</math> dok su pripadne vrijednosti od  <math>v=1/u=\bar u</math> (kompleksno konjugiranje), jedanake redom  <math>\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, i</math> , a vrijednosti zbroja ''u+v'' redom <math>\sqrt{3},-\sqrt{3},0</math>, što i jesu rješenja zadane jednadžbe.