Harmonijsko titranje

Klasična mehanika

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m\mathbf {v} )$ drugi Newtonov zakon

povijest klasične mehanike kronologija klasične mehanike Grane statika • dinamika/kinetika • kinematika • primjenjena mehanika • nebeska mehanika • mehanika kontinuuma • statistička mehanika Formulacije Newtonova mehanika (vektorska mehanika) analitička mehanika: Lagrangeova mehanika Hamiltonova mehanika Osnovni koncepti prostor • vrijeme • brzina • masa • ubrzanje • gravitacija • sila • impuls sile • spreg sila/moment sile • količina gibanja • kutna količina gibanja • tromost • moment tromosti • referentni okvir • energija • kinetička energija • potencijalna energija • rad • virtualni rad • D'Alembertovo načelo Ključne teme kruto tijelo • dinamika krutog tijela • Eulerove jednadžbe gibanja • gibanje • Newtonovi zakoni gibanja • Newtonov zakon gravitacije • jednadžbe gibanja • inercijski referentni okvir • neinercijski referentni okvir • rotirajući referentni okvir • fiktivna sila • mehanika ravninskog gibanja krutog tijela • pomak (vektor) • relativna brzina • trenje • jednostavno harmonijsko gibanje • harmonijski oscilator • vibracije • prigušenje • koeficijent prigušenja • Rotacijsko gibanje • Kružno gibanje • jednoliko kružno gibanje • nejednoliko kružno gibanje • centripetalna sila • centrifugalna sila • centrifugalna sila (rotacijski referentni okvir) • reaktivna centrifugalna sila • Coriolisov učinak • fizičko njihalo • rotacijska brzina • kutno ubrzanje • kutna brzina • kutna frekvencija • kutni pomak Znanstvenici Isaac Newton • Jeremiah Horrocks • Leonhard Euler • Jean le Rond d'Alembert • Alexis Clairaut • Joseph Louis Lagrange • Pierre-Simon Laplace • William Rowan Hamilton • Siméon-Denis Poisson

Ovisnost otklona harmonijskog titranja o vremenu je sinusoidalna.

Harmonijsko titranje opruge.

Harmonijsko titranje ili harmoničko titranje je titranje fizikalnog tijela ili čestice pod djelovanjem harmoničke sile. Sustav koji titra (oscilira) pod utjecajem harmoničke sile harmonički je oscilator. Titranje je temeljna pojava u fizici: titraju mehanički titrajni sustavi s jedan, dva ili više stupnjeva slobode, neprekinuti sustavi, elektromagnetski sustavi, molekule i atomi kristalne rešetke, tehnički uređaji.

Harmonijsko titranje je titranje kod kojeg je sila F koja uzrokuje titranje proporcionalna otklonu veličine koja titra od njenog raznotežnog položaja (elongaciji). Tijelo (sustav) koji izvodi harmonijsko titranje zove se harmonijski oscilator.

${\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}\,$

gdje je: k - koeficijent razmjernosti (elastičnosti), a x - otklon (elongacija). Predznak u jednadžbi upućuje na to da je sila povratna, to jest smjer (orijentacija) vektora sile suprotna je orijentaciji vektora otklona. Posljedično je ovisnost otklona harmonijskog titranja o vremenu sinusoidalna, matematički se opisuje s funkcijom $sin$:

$x(t)=A\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi \cdot t}{T}}+\phi \right)$

gdje je: t - (vrijeme) nezavisna promjenjiva (varijabla), a A, T i φ su konstantne veličine. Trenutačna vrijednost x naziva se elongacija (trenutačna udaljenost materijalne točke koja titra od ravnotežnoga položaja), A je amplituda (maksimalna vrijednost elongacije), T je vrijeme trajanja jednoga titraja ili period titraja. Vrijednost f = 1/T jest broj titraja u jedinici vremena ili frekvencija. Argument (2πt/T + φ) jest fazni kut i određuje trenutačno stanje titraja. Na početku titraja (t = 0) fazni kut je φ i naziva se početni fazni kut. Polazna vrijednost stanja može se odabrati i tako da je početni fazni kut jednak nuli.

Općenitija klasa gibanja su takozvana periodička gibanja, gdje je položaj čestice dan s periodičkom ovisnošću o vremenu, koja nije nužno sinusoidalna. Recimo, periodično skakanje kuglice po podlozi (bez gubitka energije) nije moguće opisati samo pomoću funkcije sin. Takva gibanja se matematički mogu opisati pomoću zbroja beskonačno mnogo sinusoidalnih funkcija različitih frekvencija, dakle pomoću beskonačno mnogo običnih harmoničkih oscilatora. Grana matematike koja se bavi analiziranjem takvih općenitih periodičkih pojava naziva se Fourierova (ili harmonička) analiza, a njen otkrivač je Joseph Fourier. U fizici se s takvim pojavama susrećemo vrlo često, na primjer gibanje tijela na opruzi, male oscilacije matematičkog i fizikalnog njihala, kruženje tijela po kružnici, gibanje nabijene čestice u magnetskom polju (ciklotron). Posebno se harmonijska analiza često koristi za opisivanje svjetlosti, budući se pokazalo da se svaki foton može shvatiti kao mali harmonički oscilator .

Objašnjenje

Elastična sila F poznata je kao sila opruge, prema najjednostavnijem mehaničkom oscilatoru opruge s tijelom (utegom) mase m na njezinu kraju:

${\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}\,$

gdje je: k - konstanta opruge, a x (t) ≡ x - [Elongacija (razdvojba)|elongacija]] ili pomak tijela iz ravnotežnog položaja. Polazeći od Drugoga Newtonova zakona, iz jednadžbe gibanja za harmoničko titranje:

$F=m\cdot a=m\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m\cdot {\ddot {x}}=-k\cdot x.$

Dobiva se diferencijalna jednadžba titranja, a njezino je opće rješenje harmonička funkcija:

$x(t)=A\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi \cdot t}{T}}+\phi \right)$

gdje je: t - (vrijeme) nezavisna promjenjiva (varijabla), a A, T i φ su konstantne veličine. Trenutačna vrijednost x naziva se elongacija (trenutačna udaljenost materijalne točke koja titra od ravnotežnoga položaja), A je amplituda (maksimalna vrijednost elongacije), T je vrijeme trajanja jednoga titraja ili period titraja. Vrijednost f = 1/T jest broj titraja u jedinici vremena ili frekvencija. Argument (2πt/T + φ) jest fazni kut i određuje trenutačno stanje titraja. Na početku titraja (t = 0) fazni kut je φ i naziva se početni fazni kut. Polazna vrijednost stanja može se odabrati i tako da je početni fazni kut jednak nuli. Uvrštenjem općeg rješenja u diferencijalnu jednadžbu titranja, dobiva se izraz:

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}={\frac {2\pi }{T}}$

koji označava svojstvenu frekvenciju titranja oscilatora.