Matematička formulacija kvantne mehanike: razlika između inačica
Redak 21: | Redak 21: | ||
=== Primjer 2: Norma operatora === |
=== Primjer 2: Norma operatora === |
||
Normu operatora <math>A</math> definiramo: <math>\|A\|=\{\sup\frac{\|A\psi\|}{\|\psi\|} : \psi \in H/\{0\}\} </math> |
Normu operatora <math>A</math> definiramo: <math>\|A\|=\{\sup\frac{\|A\psi\|}{\|\psi\|} : \psi \in H/\{0\}\} </math> gdje je H Hilbertov prostor. Ukoliko je norma operatora konačna, kažemo da je operator ograničen, a ako je <math>\|A\|=\infty</math>, tada kažemo da je operator neograničen. |
||
U tom slučaju operator ne možemo definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već najčešće zahtjevamo da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja: <math>\hat{x}\psi=x\psi</math> Neka je <math>\psi(x)=(1+|x|)^{-\frac{2}{3}}</math> |
|||
Vidimo da je <math>\psi(x)</math> kvadratno integrabilna funkcija, no, kada na tu funkciju djelujemo operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru. |
|||
[[Kategorija:Kvantna mehanika]] |
[[Kategorija:Kvantna mehanika]] |
Inačica od 5. veljače 2017. u 16:49
Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s normom, gdje je prostor kvadratno integrabilnih funkcija.
Matematički problemi u kvantnoj mehanici
U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se sa tri primjera koja ukazuju na te probleme.
Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednosti
Ukoliko želimo pronaći svojstvene vrijednosti operatora : rješavamo iduću jednadžbu:
gdje je svojstvena vrijednost danog operatora, a svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da gornja jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ukoliko je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješavamo iduću jednadžbu:
Nju možemo rješiti ukoliko je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za
Ovaj problem rješavamo na idući način: Prvo početnu jednadžbu zapišimo u idućem obliku: Ukoliko izraz nije invertibilan, kažemo da pripada spektru operatora kojeg označavamo s . U protivnom kažemo da pripada rezolventnom skupu .
Primjer 2: Norma operatora
Normu operatora definiramo: gdje je H Hilbertov prostor. Ukoliko je norma operatora konačna, kažemo da je operator ograničen, a ako je , tada kažemo da je operator neograničen. U tom slučaju operator ne možemo definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već najčešće zahtjevamo da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja: Neka je Vidimo da je kvadratno integrabilna funkcija, no, kada na tu funkciju djelujemo operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.