Matematička formulacija kvantne mehanike: razlika između inačica

Izvor: Wikipedija
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Redak 27: Redak 27:


Neka je <math>\psi(x)=(1+|x|)^{-\frac{2}{3}}</math>
Neka je <math>\psi(x)=(1+|x|)^{-\frac{2}{3}}</math>
Vidimo da je <math>\psi(x)</math> kvadratno integrabilna funkcija, no, kada na tu funkciju djelujemo operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.
Vidimo da je <math>\psi(x)</math> kvadratno integrabilna funkcija, no, kada na tu funkciju djelujemo operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.


=== Primjer 3: Adjungirani operator ===

Ukoliko je dan ograničeni operator <math>\hat{A}</math> definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s <math><\psi,\hat{A}^*\psi>=<\hat{A}\psi,\psi></math>
[[Kategorija:Kvantna mehanika]]
[[Kategorija:Kvantna mehanika]]

Inačica od 5. veljače 2017. u 16:25

Kvantna fizika


Uvod u kvantnu mehaniku

Matematička formulacija kvantne mehanike


Matematička formulacija kvantne mehanike bavi se matematičkim formalizmom koji omogućava rigorozni opis kvantne mehanike. Matematička arena na kojoj operiramo je separabilni Hilbertov prostor zajedno s normom, gdje je prostor kvadratno integrabilnih funkcija.

Matematički problemi u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici problemi nastaju kada je dimenzija Hilbertovog prostora beskonačna. U ovom dijelu pozabavit ćemo se sa tri primjera koja ukazuju na te probleme.

Primjer 1: Problem svojstvenih vrijednosti

Ukoliko želimo pronaći svojstvene vrijednosti operatora : rješavamo iduću jednadžbu:

 

gdje je svojstvena vrijednost danog operatora, a svojstveni vektor pridružen svojstvenoj vrijednosti. No, može se dogoditi da gornja jednadžba ima samo trivijalna rješenja u Hilbertovom prostoru. Na primjer, ukoliko je operator hamiltonijan za slobodnu česticu, rješavamo iduću jednadžbu:

Nju možemo rješiti ukoliko je svojstveni vektor u obliku ravnog vala: no, ova funkcija nije kvadratno integrabilna. Stoga je gornja jednadžba rješiva u Hilbertovom prostoru jedino za

Ovaj problem rješavamo na idući način: Prvo početnu jednadžbu zapišimo u idućem obliku: Ukoliko izraz nije invertibilan, kažemo da pripada spektru operatora kojeg označavamo s . U protivnom kažemo da pripada rezolventnom skupu .

Primjer 2: Norma operatora

Normu operatora definiramo:

  

gdje je H Hilbertov prostor. Ukoliko je norma operatora konačna, kažemo da je operator ograničen, a ako je , tada kažemo da je operator neograničen. U tom slučaju operator ne možemo definirati na cijelnom Hilbertovom prostoru, već najčešće zahtjevamo da je domena operatora gusta u Hilberovom prostoru. Uzmimo za promjer operator položaja:

Neka je Vidimo da je kvadratno integrabilna funkcija, no, kada na tu funkciju djelujemo operatorom položaja rezultirajuća funkcija više nije kvadratno integrabilna, što znači da nije definirana na Hilbertovom prostoru.


Primjer 3: Adjungirani operator

Ukoliko je dan ograničeni operator definiran na Hilbertovom prostoru, adjungat operatora je dan s