Limes (matematika)

Limes je jedan od osnovnih pojmova u matematičkoj analizi.

Limes niza

Neka je $(a_{n})$ niz realnih ili kompleksnih brojeva. Reći ćemo da niz $(a_{n})$ konvergira broju L (realan ili kompleksan broj) ako vrijedi $(\forall \epsilon >0(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(n\in \mathbb {N} ,n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-L|<\epsilon )$. Možemo to interpretirati na način da kažemo da za dovoljno velike n-ove članovi niza će biti sve bliže broju L. Poznavajući realne nizove možemo poznavati i kompleksne nizove jer vrijedi da kompleksan niz $(z_{n})$ možemo pisati kao $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$, gdje su $a_{n}$ i $b_{n}$ realni nizovi. Ako niz $z_{n}$ konvergira k $z=a+ib$, onda vrijedi da je $\lim _{n}a_{n}=a$ i isto za niz $b_{n}$ (što je lagano za pokazati).

Ako niz realnih brojeva nije konvergentan kažemo da je divergentan.

Limes niza se "dobro" ponaša i na računske operacije. Za nizove $(a_{n}),(b_{n})\subseteq \mathbb {R}$ takve da $\lim _{n}a_{n}=A,\lim _{n}b_{n}=B$ i $c\in \mathbb {R}$ vrijedi:

$\lim _{n}(a_{n}+b_{n})=A+B$

$\lim _{n}(c\cdot a_{n})=c\cdot A$

$\lim _{n}(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$

$B\neq 0\Rightarrow \lim _{n}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}}$

$|\lim _{n}a_{n}|=\lim _{n}|a_{n}|$

Limes funkcija

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0,841471...
0,1	0,998334...
0,01	0,999983...

Iako funkcija (sin x)/x nije definirana za vrijednost nula, kako se x približava nuli, funkcija (sin x)/x poprima vrijednost sve bližu 1. Drugim riječima, limes funkcije (sin x)/x kada x teži nuli jednak je 1.

Neka je $\emptyset \neq I\subseteq \mathbb {R}$, $c\in \langle a,b\rangle$,$\langle a,b\rangle \setminus \{c\}\subseteq I$ i $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ funkcija. Kažemo da ƒ ima limes $L\in \mathbb {R}$ u točki c ili da ƒ konvergira prema L kada x teži prema c ako vrijedi $((a_{n})\subseteq \langle a,b\rangle \setminus \{c\},\lim _{n}a_{n}=c\Rightarrow \lim _{n}f(a_{n})=L$ što pišemo $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$. To možemo izreći na način da kažemo da čim neki niz koji je sadržan u okolini c i teži k c, a nije baš c (jer mi ne znamo je li c u domeni ili ne) da tada niz funkcijskih vrijednosti teži prema L.

Postoji i tzv. epsilon-delta definicija koji je ekvivalentna definiciji preko nizova. Pa neka je $f:I\rightarrow \mathbb {R} ,I\subseteq \mathbb {R}$. Kažemo da ƒ ima limes $L\in \mathbb {R}$ u $c\in I$ ako vrijedi $(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in I,0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon )$