Binomni koeficijent: razlika između inačica

Izvor: Wikipedija
Izbrisani sadržaj Dodani sadržaj
Dodao wikipoveznice.
Dodana neka svojstva i izgovor.
Redak 1: Redak 1:
[[Datoteka:Pascal's_triangle_5.svg|desno|mini|200x200px|Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta]]
[[Datoteka:Pascal's_triangle_5.svg|desno|mini|200x200px|Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta]]
[[Datoteka:Binomial_theorem_visualisation.svg|mini|300x300px|Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije]]
[[Datoteka:Binomial_theorem_visualisation.svg|mini|300x300px|Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije]]
U [[Matematika|matematici]], '''binomni koeficijent''' je pozitivni [[cijeli broj]], koji se pojavljuje kao [[koeficijent]] [[Binomni poučak|binomnog poučka]]. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima ''n'' i ''k'' obično se zapisuje kao <math>\tbinom nk</math>. To je [[koeficijent]] člana ''x''<sup>&#x20;''k''</sup> polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1&#x20;+&#x20;''x'')<sup>&#x20;''n''</sup>. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom <math>\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>. Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti ''n'', u kojem ''k ''ima vrijednosti od 0 do ''n'', daje [[Pascalov trokut]].
U [[Matematika|matematici]], '''binomni koeficijent''' je pozitivni [[cijeli broj]], koji se pojavljuje kao [[koeficijent]] [[Binomni poučak|binomnog poučka]]. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima ''n'' i ''k'' obično se zapisuje kao <math>\tbinom nk</math> (i čita se ''n'' iznad ili povrh ''k''). To je [[koeficijent]] člana ''x''<sup>&#x20;''k''</sup> polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1&#x20;+&#x20;''x'')<sup>&#x20;''n''</sup>. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom <math>\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>. Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti ''n'', u kojem ''k ''ima vrijednosti od 0 do ''n'', daje [[Pascalov trokut]].


Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području [[Kombinatorika|kombinatorike]].
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području [[Kombinatorika|kombinatorike]].

=== Neka svojstva binomnih koeficijenata ===

Svojstvo simetrije:

<math>\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}</math>

Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:

<math>\binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}</math>


=== Binomni koeficijent u matematičkoj analizi ===
=== Binomni koeficijent u matematičkoj analizi ===
Redak 17: Redak 27:
== Izvori ==
== Izvori ==
# [[Svetozar Kurepa]]: ''Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)
# [[Svetozar Kurepa]]: ''Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)
# Neven Elezović: ''Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije)'', Element, Zagreb, 2000. (str. 18, 20)


[[Kategorija:U izradi, Matematika]]
[[Kategorija:U izradi, Matematika]]

Inačica od 13. prosinca 2017. u 22:24

Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta
Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao  (i čita se n iznad ili povrh k). To je koeficijent člana x k polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1 + x) n. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom . Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Neka svojstva binomnih koeficijenata

Svojstvo simetrije:

Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi

Za proizvoljan realni broj binomni koeficijent se definira formulama:

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omugućuje da npr. izračunamo izraze poput ili, između ostalog, da se razvije u red za .

Izvori

  1. Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)
  2. Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000. (str. 18, 20)