Binomni koeficijent: razlika između inačica
Dodao wikipoveznice. |
Dodana neka svojstva i izgovor. |
||
Redak 1: | Redak 1: | ||
[[Datoteka:Pascal's_triangle_5.svg|desno|mini|200x200px|Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta]] |
[[Datoteka:Pascal's_triangle_5.svg|desno|mini|200x200px|Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta]] |
||
[[Datoteka:Binomial_theorem_visualisation.svg|mini|300x300px|Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije]] |
[[Datoteka:Binomial_theorem_visualisation.svg|mini|300x300px|Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije]] |
||
U [[Matematika|matematici]], '''binomni koeficijent''' je pozitivni [[cijeli broj]], koji se pojavljuje kao [[koeficijent]] [[Binomni poučak|binomnog poučka]]. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima ''n'' i ''k'' obično se zapisuje kao <math>\tbinom nk</math>. To je [[koeficijent]] člana ''x''<sup> ''k''</sup> polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1 + ''x'')<sup> ''n''</sup>. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom <math>\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>. Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti ''n'', u kojem ''k ''ima vrijednosti od 0 do ''n'', daje [[Pascalov trokut]]. |
U [[Matematika|matematici]], '''binomni koeficijent''' je pozitivni [[cijeli broj]], koji se pojavljuje kao [[koeficijent]] [[Binomni poučak|binomnog poučka]]. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima ''n'' i ''k'' obično se zapisuje kao <math>\tbinom nk</math> (i čita se ''n'' iznad ili povrh ''k''). To je [[koeficijent]] člana ''x''<sup> ''k''</sup> polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1 + ''x'')<sup> ''n''</sup>. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom <math>\tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>. Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti ''n'', u kojem ''k ''ima vrijednosti od 0 do ''n'', daje [[Pascalov trokut]]. |
||
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području [[Kombinatorika|kombinatorike]]. |
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području [[Kombinatorika|kombinatorike]]. |
||
=== Neka svojstva binomnih koeficijenata === |
|||
Svojstvo simetrije: |
|||
<math>\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}</math> |
|||
Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta: |
|||
<math>\binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}</math> |
|||
=== Binomni koeficijent u matematičkoj analizi === |
=== Binomni koeficijent u matematičkoj analizi === |
||
Redak 17: | Redak 27: | ||
== Izvori == |
== Izvori == |
||
# [[Svetozar Kurepa]]: ''Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110) |
# [[Svetozar Kurepa]]: ''Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable'', Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110) |
||
# Neven Elezović: ''Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije)'', Element, Zagreb, 2000. (str. 18, 20) |
|||
[[Kategorija:U izradi, Matematika]] |
[[Kategorija:U izradi, Matematika]] |
Inačica od 13. prosinca 2017. u 22:24
U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao (i čita se n iznad ili povrh k). To je koeficijent člana x k polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1 + x) n. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom . Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.
Neka svojstva binomnih koeficijenata
Svojstvo simetrije:
Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:
Binomni koeficijent u matematičkoj analizi
Za proizvoljan realni broj binomni koeficijent se definira formulama:
gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.
Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omugućuje da npr. izračunamo izraze poput ili, između ostalog, da se razvije u red za .
Izvori
- Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2 funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (str. 108-110)
- Neven Elezović: Matematika 4 (udžbenik za IV. razred gimnazije), Element, Zagreb, 2000. (str. 18, 20)