Binomni koeficijent

Binomni koeficijenti mogu biti organizirani u obliku Pascalova trokuta

Vizualizacija binomnog proširenja do četvrte potencije

U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijent binomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao ${\tbinom {n}{k}}$ (i čita se n iznad ili povrh k). To je koeficijent člana x ^k polinomne ekspanzije binomne potencije oblika (1 + x) ⁿ. Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom ${\tfrac {n!}{k!\,(n-k)!}}$. Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.

Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.

Neka svojstva binomnih koeficijenata

Svojstvo simetrije:

${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}$

Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta:

${\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}={\binom {n+1}{k}}$

Binomni koeficijent u matematičkoj analizi

Za proizvoljan realni broj $\alpha$ binomni koeficijent se definira formulama:

${\binom {\alpha }{0}}=1,{\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdot \cdot \cdot (\alpha -k+1)}{k!}}$

gdje je u nazivniku razlomka funkcija faktorijel.

Dano proširenje binomnog koeficijenta na realne brojeve nam omogućuje da npr. izračunamo izraze poput ${\binom {\frac {-1}{2}}{k}}$ ili, između ostalog, da se $(1+x)^{\alpha }$ razvije u red za $x\in <-1,1>$.