Koordinatni sustav

Kartezijev koordinatni sustav.

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav.

Primjer kosokutnog koordinatnog sustava.

Polarni koordinatni sustav.

Koordinatni sustav je sustav koji omogućuje da se točke na krivulji, pravcu, plohi, u ravnini ili prostoru opišu s pomoću brojeva, takozvanim koordinatama. U matematici i drugim područjima postoji više različitih koordinatnih sustava:

• Kartezijev ili pravokutni koordinatni sustav
• polarni koordinatni sustav
• cilindrični koordinatni sustav
• sferni koordinatni sustav
• zemljopisne koordinate
• nebeski koordinatni sustavi

Povijest

Određivanje položaja s pomoću koordinata bilo je poznato već staroegipatskim graditeljima i babilonskim astronomima. Kartezijev koordinatni sustav uveo je René Descartes (latinizirano Renatus Cartesius). Descartesovo otkriće omogućilo je da se mnoga geometrijska tijela sustavno proučavaju znatno jačim metodama analitičke geometrije, algebre i analize; tako se na primjer krivulje proučavaju s pomoću jednadžbi koje zadovoljavaju koordinate njihovih točaka. Još je značajnije to što je u novije doba veza geometrije, algebre i analize omogućila da geometrijski zor, a time i mnogo plodnija intuicija, budu iskorišteni u rješavanju problema algebre i analize. Zato je Kartezijev koordinatni sustav temelj razvoja i uspjeha moderne linearne algebre (vektorski prostor), a zatim i mnogih njezinih nadgradnja (funkcionalne analize, diferencijalne geometrije, algebarske geometrije).

Podjela

Kartezijev koordinatni sustav

Podrobniji članak o temi: Kartezijev koordinatni sustav

U ravnini je pravokutni Kartezijev koordinatni sustav određen s dva međusobno okomita pravca x i y na kojima su zadani Kartezijevi koordinatni sustavi, ishodišta kojih su u točki presjecišta pravaca x i y. Točki T ravnine pridružuju se dvije koordinate, apscisa i ordinata. Apscisa točke T koordinata je okomite projekcije te točke na pravac x, a ordinata je koordinata okomite projekcije te točke na pravac y. Na taj način svakoj je točki pridružen uređen par realnih brojeva (x, y). Pravci x i y nazivaju se koordinatne osi, a pravci njima paralelni koordinatne linije.

Pravokutni koordinatni sustav

Pravokutni koordinatni sustav ili pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru određen je trima međusobno okomitim pravcima x, y, z, koji se sijeku u ishodištu O, i s Kartezijevim koordinatnim sustavima na njima. Koordinate se tada zovu apscisa (na osi x), ordinata (na osi y) i aplikata (na osi z). Na taj način svakoj su točki u prostoru pridružena 3 realna broja (x, y, z).

Kosokutni koordinatni sustav

Kosokutni koordinatni sustav ili kosokutni Kartezijev koordinatni sustav određen je pravcima koji nisu međusobno okomiti, kojemu koordinatne osi nisu međusobno okomite, a umjesto okomitih projekcija pojavljuju se kose projekcije. Katkad ga je prikladno koristiti umjesto pravokutnoga, na primjer u teoriji kristala.

Polarni koordinatni sustav

Polarni koordinatni sustav je koordinatni sustav u ravnini i određen je ishodištem O i zrakom p s početkom u ishodištu (polarna os) i jediničnom točkom E. Točki T ravnine pripadaju tada njezine polarne koordinate: jedna je radijalna koordinata r = OT, a druga je amplituda φ, koja je mjerni broj kuta što ga zatvara zraka p sa zrakom kojoj je početak u ishodištu i koja prolazi kroz T.

Prijelaz iz Kartezijevih koordinata u ravnini u polarne koordinate u ravnini računa se prema jednadžbama:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad$

$\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$,

a prijelaz iz polarnih u Kartezijeve koordinate prema jednadžbama:

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

Bipolarni koordinatni sustav u ravnini sadrži dva pola.

Izvori

Nedovršeni članak Koordinatni sustav koji govori o geometriji treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.