Fibonaccijev broj: razlika između inačica
Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
Nema sažetka uređivanja Oznake: mobilni uređaj m.wiki |
||
Redak 19: | Redak 19: | ||
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po [[Fibonacci|Leonardu od Pise]], poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.{{ISSN|0047-6269}}]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref> |
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po [[Fibonacci|Leonardu od Pise]], poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u [[Indijska matematika|Indiji]].<ref>Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.{{ISSN|0047-6269}}]</ref><ref>Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985</ref> |
||
== Osnovna svojstva == |
|||
Svaka dva uzastopna broja Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je <math> (F_{n - 1}, F_n) = d. </math> No, onda je <math> d | F_{n - 1} - F{n} = F_{n - 2}. </math> Analogno, <math> d | F_{n - 3}, F_{n - 4}, ..., F_1 = 1 </math> što povlači <math> d = 1. </math> |
|||
Vrijedi <math> F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}({(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^n - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^n). </math> Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva ''Binetova formula''. |
|||
Vrijedi <math> F_{n - 1}F_n = F_{n + 1}^2 + (- 1)^n. </math> Ovo se pravilo naziva ''Cassinijev identitet''. |
|||
== Varijacije niza == |
== Varijacije niza == |
Inačica od 25. prosinca 2020. u 22:00
Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definiran sljedećom rekurzivnom relacijom:
Dakle, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Primjerice, dat će , dat će , itd.
Prvi Fibonaccijevi brojevi, također označeni kao , za su redom
Uobičajeno je da se za ovaj niz smatra da počinje na , ali može se uključiti .
Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]
Osnovna svojstva
Svaka dva uzastopna broja Fibonaccijeva broja su relativno prosta. Dokažimo to. Pretpostavimo da je No, onda je Analogno, što povlači
Vrijedi Ovo se važno svojstvo Fibonaccijevih brojeva naziva Binetova formula.
Vrijedi Ovo se pravilo naziva Cassinijev identitet.
Varijacije niza
Možemo konstruirati nove nizove za koje neće nužno vrijediti kao što to vrijedi za Fibobaccijev niz. No, željet ćemo da osnovno pravilo, odnosno identitet, vrijedi za sve te nizove. Uočimo da je neki takav niz zadan ako su zadani
Primjeri
Ovdje su primjeri takvih nizova: , , no može biti i kao npr.
Diferencija Fibonaccijeve trojke
Tri utastopna člana Fibonaccijevog niza zajednički zovemo Fibobaccijeva trojka. Uočimo da za vrijedi (Za sustav nejednakosti ipak ne vrijedi ako niz počinje s )
Dakle, intuitivno je da vrijedi Označimo s
Pretpostavimo sada da su dva početna broja niza za kojeg vrijedi osnovni identitet iz Fibonaccijevog niza.
Hoće li umnožak 1. i 3. člana () neke trojke biti veći odnosno manji od kvadrata srednjeg člana () te trojke isključivo ovisi o razlici 1. i 2. člana tog niza, .
Ispišimo prvih nekoliko članova tog niza:
Slučaj 1.,
Ovdje će vrijediti tj. vrijedit će ako je paran, odnosno ako je neparan. (1)
Dokaz. Uočimo da je Ispišimo nekoliko članova ovog niza: Za prvu trojku vrijedi (1) jer je Za sljedeću trojku računamo odakle je Slično se provjeri za pa se (1) lako dokaže matematičkom indukcijom.
Dakle, vrijedit će
Slučaj 2.,
Slično se dokazuje da u ovom slučaju vrijedi Odavde vidimo da ako je će biti za , a ako je vrijedit će obratno.
Fibonnacijev niz u prirodi
Fibonaccijev niz se često povezuje i s brojem zlatnog reza fi (phi, ), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, te podijelimo li svaki sljedeći broj s njemu prethodnim, dobiveni broj težit će broju fi: itd. Broj je fi zaokružen na tri decimale (fi je iracionalan). Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.
Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:
- U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
- Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema sljedećem dobili bi broj fi.
- Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
- Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.